Выражение модуля вектора и его направления через координаты. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конецвектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁, М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_z а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM. А так как M ₁N=OM ₂, NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂ + ОМ₃ (5.1)

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM ₁| = а_х, |ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=a_xi+a_yj+a_zk (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называетсяразложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (a_x; a_y; a_z).

Равенство b = (b_x; b_y; b_z) означает, что b = b _х•i +b _у • j + b_z • k. Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a, b, g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора e являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.