x1, ., хп из генеральной совокупности с неизвестным параметром 0, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала.

Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ, необходимо знать закон распределения статистики θ ^’ = θ ^’ (x₁,..., х_п), значение ко­торой является оценкой параметра θ. При этом для получения довери­тельного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки n и заданной доверительной вероятности 1 — α в качестве оценки θ пара­метра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.

2.1.5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты n_i^’, и в качестве критерия выбирается случайная величина.

имеющая закон распределения χ 2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ 2.

Теоретические частоты n_i^’ вычисляются для заданного закона распределения

как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения n_i^’= n · Р_i, где

n – объем выборки,, , x_i и x_i+1 левая и правая

границы i-го интервала, - выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3.

2.1.6. КВАНТИЛЬ

Квантиль - значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Квантилью уровня P, называется решение уравнения , где P и F заданы.

Квантиль P – значение случайной величины, при котором функция распределения равна P.

В Данной работе будут использованы квантили распределения Стьюдента и хи-квадрат Пирсона.

2.2 РАСЧЁТЫ

Данная выборка

f - это вектор строка записанный из выборки

2.3. ВЫВОДЫ

В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан подробный

теоретический обзор. Также были решены данные задачи. Получен опыт нахождения статистического ряда, построения гистограммы и полигона частот. После проверки гипотезы было выяснено, что теоретическое меньше, чем практическое. Это означает, что нормальный закон распределения для данной совокупности не подходит.

3 ЧАСТЬ II. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

3.1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНЬЯ

Часто у инженера возникает задача выделения сигнала из смеси «сигнал + шум».

Например, на промежутке от t₁ до t₂ функция f(t) имеет вид, но в силу патологического влияния шумов и помех эта кривая превратилась в смесь f(t) + f(n).

Реально мы владеем какой-то информацией и о сигнале и о шуме, но этого недостаточно.

Алгоритм восстановления сигнала из смеси «сигнал + шум»:

1. Задается функция f(t)

2. Генерируется шум с помощью датчика случайных чисел f(n)

3. Построим сумму f(t) + f(n)

4. Принимая модель f(t) в виде полинома третьей степени – кубической параболы. Находим методом МНК коэффициенты этой кубической параболы. Они будут являться функциями y(t)

3.1.1 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод оценки неизвестных случайных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. В нашем случае дана смесь – сигнал+шум. Наша задача состоит в извлечении истинного тренда.

При помощи метода наименьших квадратов вычисляются коэффициенты аппроксимирующего многочлена. Эта задача решается следующим образом.

Пусть на некотором отрезке в точках … нам известны значения … некоторой функции f(x).

Требуется определить параметры многочлена вида

, где k< N

такого, что сумма квадратов отклонений значений y от значений функции f(y) в заданных точках x была минимальной, то есть .

Геометрический смысл заключается в том, что график найденного многочлена y = f(x) будет проходить как можно ближе к каждой из заданных точек.

Далее нужно решить следующую систему уравнений:

…………………………………………………………………………….

Запишем систему уравнений в матричном виде:

Решением является следующее выражение:

Несмещенная оценка для дисперсии ошибок наблюдений равна:

Чем величина S меньше, тем точнее описывается Y.

N – Объем выборки

k-Число параметров тренда –

считается по формуле:

Доверительный интервал для коэффициентов тренда считается так:

j=0..3

– квантиль распределения Стьюдента

- j-ый диагональный элемент матрицы

3.2 РАСЧЕТЫ

3.3 ВЫВОДЫ

В ходе работы была выполнена задача по нахождению истинного тренда из смеси

сигнал +шум. За основу работы взят метод наименьших квадратов. Для оптимальных

расчетов был использован полином третьей степени, что привело к получению расчета

четырех коэффициентов модели. Были рассчитаны не только сами коэффициенты, но и

их доверительные интервалы. На построенном графике представлены два тренда –

истинный и его оценка. Имеются небольшие отклонения, это связано с тем, что было

взято относительно небольшое количество коэффициентов.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной курсовой работы был получен опыт нахождения

точечной оценки и доверительного интервала для таких величин, как математическое

ожидание и дисперсия, закреплены навыки построения гистограммы и полигона частот

для некоторой выборки значений.

Так же был освоен метод наименьших квадратов (МНК), как один из способов

в регрессионном анализе для извлечения истинного тренда из смеси сигнал + шум.

Полученные в ходе работы навыки можно использовать не только в учебной

деятельности, но и в повседневной жизни.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Симонов А.А. Выск Н.Д. Проверка статистических гипотез:

Методические указания и варианты курсовых заданий. Москва, 2005, 46 с.

2. Ю. И. Галанов. Математическая статистика: учебное пособие.

Издательство ТПУ. Москва, 2010, 66 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов, 2005. – 576 с.

4. Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В.Н. Земсков, А. С. Поспелов. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ: Учебник для студентов вузов.

Москва, 2003, 433 с.

5. Чернова Н. И. Математическая статистика: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 148 с.