Дифференциальные уравнения. Основные определения

Введение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнических цепях, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции.

Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений. Некоторые из методов решения ОДУ основано на задаче Коши, алгоритмы и программы для которой рассматриваются в настоящей работе.

Теоретическая часть

Дифференциальные уравнения. Основные определения

Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее значение некоторой неизвестное функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные: однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y’)=0, где А – известная функция трех переменных, х – независимая переменная из интервала (a, b), y(x) – ее производная. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y’=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме.

Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех х из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y’(x))=0.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Если дифференциальное уравнение 1-го порядка y’=f(x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=y(x, C), где C – произвольная константа. Выражение y(x, C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка: при всех допустимых значениях C функция y=y(x, C) является решением уравнения, y’(x, C)=f(x, y(x, C)). Для любого наперед заданного решения y=f(x) найдется такое значение константы C, C=C*, что y(x, C*)=f(x).

Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.