Волнения.

Рис. 7.14 показывает хо­рошее соответствие статистиче­ской и теоретической кривых.

Из понятия плотности ве­роятности очевидно, что вероят­ность попадания ординаты С, в диапазон, ограниченный какими- либо значениями z\ и z₂ опре­деляется площадью под кривой между этими значениями С, (на рис. 7.15 она заштрихована). Эта вероятность может быть записа­на в виде

JL

^z2 9 Г)

] е ZdC, (7.53)

^zi

где p{z\ < £ < Z2) обозначает вероятность события, указанного в скобках. Подстановка t = приводит выражение (7.53) к виду

^z2

l г Л ¹ ^

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но он может быть представлен через функцию Лапласа (р (х), называемую также интегралом вероятности:

(р{х) = ^=^Х\е-'² dt. (7.55)

о

Отметим следующие свойства этой функции:

(р (~х) = ~< р(х); < р (-оо) = -1; р(оо) = 1.

Используя функцию Лапласа, выражение (7.54) можно записать в виде

г \ / л"

p(^zl < £ < z₂) = \

Устремляя здесь z\ -> -оо, получим вероятность появления не превы­шающей Z2:

Г \

^z2

1 + (р

№

Если же в формуле (7.56) устремить z₂ —» +оо, то получим вероятность по­явления С,, превышающей z\:

p(£ > ^z l)=z

В теории случайных функций показывается, что если ординаты колебатель­ного процесса распределены по нормальному закону, то его амплитуды следуют закону Рэлея

-< Г²

Рисунок 7.16. - Сопоставление данных измере­ний высот волн с их теоретическим распределе­нием (по Рэлею)

Ьа

fR((a)'^-e^W< (7.

С

Вид закона Рэлея представлен на рис. 7.16.

Аналогично предыдущему закон Рэлея позволяет вычислять вероятность превышения или не­превышения амплитудой заданного значения. Для практических целей особенно важным является опреде­ление вероятности появления ам-

плитуд, превышающих заданную величину z. Эта вероятность называется обес­печенностью. Очевидно, что обеспеченность w(z) определится выражением

< С²

Ь а

^{00 00} С 2D

w(z) = р(с > z) = \f_R {g_a)d£ _a = е ^ а. Интеграл в правой части

А"

Z Z ь

вычисляется элементарно и мы получим:

t \ ^2DC w(z) -е ^.

Эта же зависимость позволяет решать обратную задачу, т. е. определять ам­плитуду заданной обеспеченности. Логарифмируя равенство (7.60), найдем:

lnw(z) = —) откуда получим

2 Д

г = =к< 5_(; , (7.61)

где обозначено

к = 21n w(z). (7.62)

Вычисленные по формуле (7.62) значения коэффициента к для различной обеспеченности, выраженной в процентах, приведены в табл. 7.3.

Высота волны (удвоенная амплитуда) определенной обеспеченности явля­ется удобной характеристикой интенсивности волнения. В частности, шкала сте­пени волнения в баллах, принятая Главным гидрографическим управлением, со­ставлена по градациям высот волн 3%-ной обеспеченности. Эта шкала приведена в табл. 7.4.

Данные по экспериментальным значениям высот волн, которые появляются один раз за 30 и более лет, для некоторых зон океанов приведены в табл. 7.5.

Зная высоты волны 3%-ной обеспеченности, можно, пользуясь формулами (7.61) и значением из табл. 7.3, вычислить дисперсию волновых ординат:

f и \2 /Ч \2

^h3%

= 0, 143

Степень интенсивности волнения часто приходится оценивать визуальным наблюдением с ходового мостика. Проведенные сопоставления между глазомер­ной оценкой волнения и инструментальной записью того же волнения показали, что средние значения высот волн, которые наблюдатель определяет как характе­ризующие степень волнения, имеют различную обеспеченность в зависимости от балльности волнения и высоты глаза наблюдателя. На основе статистической об­работки результатов большого числа синхронно проведенных измерений и на­блюдений волнения с отечественных и зарубежных судов получены осредненные соотношения между /г_набл ^и ^3%

^h3%=^kh^hna6n> (⁷-⁶⁴)

значения которых приведены в табл. 7.6.

Это соотношение следует учитывать при установлении балльности волне­ния на основе визуальных наблюдений волн.

В зарубежной литературе принято считать, что наблюдатели обычно фикси­руют среднюю высоту одной трети наиболее высоких из наблюдаемых волн; их называют значительными волнами и обозначают /21/3. Связь между волнами 3%- ной обеспеченности и значительными волнами выражается соотношением h₃o_/o =1, 33/21/3.

Рассмотренные выше характеристики нерегулярного волнения, определен­ные методами математической статистики, не дают возможности получить харак­теристики процесса качки судна. Для этой цели используется спектральное пред­ставление нерегулярного волнения. В соответствии с этим представлением нере­гулярное волнение рассматривается как результат наложения неограниченного
числа простых гармонических волн со случайными амплитудами и фазами, часто­ты которых сплошным образом заполняют числовую полуось (0, оо). Сам же спектр волнения характеризует распределение энергии волнового процесса по частотам составляющих его гармоник.

Представляя запись волнения в виде ряда Фурье и строя гистограмму с площадями столбиков, пропорциональными суммарной энергии АЕ волновых гармоник, частоты которых попадают в интервал Лео, получим приближенное распределение энергии волнения по частотам составляющих гармоник. Аппрок­симация ступенчатой диаграммы каким-либо аналитическим выражением даст кривую, ординаты которой S((o) можно рассматривать как предел:

S^- (со) = limАЕ/(Лсо)|_Д(00 =dE! {diо). Функция (со) называется спектральной

плотностью волнения, а графическое ее изображение - энергетическим спектром волнения.

Согласно формуле (7.34) энергия, приходящаяся на единицу площади гар-

монической волны, пропорциональна 1/2г, где г ее амплитуда. Не трудно ви­деть, что и дисперсия гармонического процесса равна этой же величине. Действи­тельно, вычисляя дисперсию как среднее значение квадрата ординат процесса £ - г cos (со? + у) за период т = 2я/&, получим:

\^Г 1 л ₉

.D^ = - jf^zdt = r^z-fcos (cot+ /)dt = -r^z,

^To ^To ²

т. е. дисперсия ординат волнения пропорциональна энергии волнения, в связи с чем энергетический спектр волнения называют также спектром дисперсий.

Из сказанного выше очевидно, что площадь, ограниченная спектром волне­ния, пропорциональна полной энергии волнения и равна дисперсии волнового процесса:

% = jSf(a>)da>. (7.65)

О

Это соотношение выражает одну из связей между спектральным представ­лением процесса волнения и его вероятностными характеристиками, рассмотрен­ными выше.

Другую связь дает формула для среднего периода процесса

^тср ⁼, (7.66)

П'

где величина

.2

Dg = /в/^(е>)< /е> (7.67)

О

представляет собой дисперсию скорости изменения уровня волновой поверхно­

сти.

Зависимость г_ср от высоты волны 3%-ной обеспеченности для развиваю­щегося, развитого и затухающего волнений показана на рис. 7.17. 190

С понятием спектра связано представление о стационарности процесса. Под стационарным понимается такой процесс, спектральный состав которого не изме­няется с течением времени.

Если наблюдать за развитием волнения под действием ветра, то можно уви­деть, как на первоначально спокойной поверхности моря образуется рябь, пред­ставляемая гармониками высоких частот. По мере развития волнения в составе спектра будут возрастать составляющие низких частот. Со временем состав спек­тра будет стабилизироваться, и при неизменной силе ветра установится некото­рый постоянный спектр, соответствующий вполне развитому волнению. Такое волнение и будет представлять стационарный случайный процесс. При затухании волнения прежде всего начнут исчезать высокочастотные гармоники и спектр бу­дет сужаться в сторону меньших частот.

Практическое полу­чение спектров волнения основывается на свойстве эргодичности, которое за­ключается в том, что одна реализация случайного процесса достаточной продолжительности мо­жет заменить множество реализаций той же сум­марной продолжи­тельности, в том и другом случае статистические ха­рактеристики процесса будут одинаковыми.

Практика показы­вает, что для целей иссле­дования качки судна необ­ходимо иметь запись вол­нения, содержащую 120— 150 последовательных волн, что обычно соответ­ствует 20-30 минутной непрерывной записи волнографа.

При расчетах качки используют аналитические выражения для спектра вол­новых ординат, которые были предложены многими авторами. В отечественной практике пользуются спектром, заданным отраслевым стандартом 1981 г. Приве­денное в стандарте выражение может быть представлено в виде

(7.68)

принимается по

CP' ⁴ср

рис.7.17 для развитого волнения, а функция \\г(х) определяется выражением

у(х) = 3, 66л: ⁶ ехр

К х J

Рассмотренное выше представление не­регулярного волнения относится к случаю зы­би, когда вся энергия волнения сосредоточена в системе волн одного направления. Такое вол­нение является двухмер­ным, а его спектр - функцией только часто­ты и называется одно­мерным. Для ветрового волнения рассматри­вают модель трехмер­ного нерегулярного вол­нения, характери­зуемого двухмерным спектром. В такой моде­ли считается, что волне­ние состоит из волн, рас­пространяющихся из разных направлений, определяемых углом е относительно генерального (господствующего) направления, и полная энергия волнения имеет угловое распределение, симметричное относительно генерального направления. В этом случае спектр волнения обычно представляют в виде произведения одно­мерного спектра Sg(со) и функции распределения энергии по углу s, причем в

практике расчетов качки наиболее удовлетворительным считается распределение

по закону cos⁴ е. В этом случае энергетический спектр трехмерного волнения за­дается выражением

S£ (со, _e) = Y^SZ^{cos4 е}' (⁷'⁷⁰⁾

где S^ (со) по-прежнему определяется формулами (7.68) и (7.69).