Остойчивость при больших наклонениях 1 страница

4.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В нормальных условиях эксплуатации продольные наклонения судна обыч­но не выходят за пределы применимости метацентрической формулы остойчиво­сти. При особо больших наклонениях может быть использована диаграмма диф­ферентов.

Поперечные наклонения происходят в плоскости минимальной остойчиво­сти судна и углы крена достигают значений, при которых метацентрическая фор­мула не дает правильного представления о действительной зависимости восста­навливающего момента от угла наклонения. Между тем остойчивость при боль­ших углах крена представляет особый интерес для решения основной задачи, со­стоящей в оценке безопасности судна в отношении опрокидывания. Наблюдав­шиеся случаи гибели судов от потери остойчивости свидетельствуют, что опро­кидывание всегда происходит в плоскости, близкой к поперечной. Большие углы наклонений в других плоскостях возникают лишь в аварийных случаях при затоп­лении части судовых помещений. Но такие случаи относятся к разделу непотоп­ляемости судов. В соответствии с этим в настоящей главе рассматриваются на­клонения судна только в поперечной плоскости.

При больших наклонениях моменты инерции равнообъемных ватерлиний изменяются с углом крена. Соответственно изменяются и радиусы кривизны тра­ектории центра величины, которая будет отличаться от окружности, положенной в основу при выводе метацентрической формулы остойчивости. Указанное об­стоятельство существенно меняет зависимость восстанавливающего момента от угла крена. Установление этой зависимости и является первой задачей при изуче­нии остойчивости при больших углах крена.

4.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГЕОМЕТРИЯ БОЛЬШИХ НАКЛОНЕНИЙ

Если кренящая пара наклоняет судно на большой угол, то траектория цен­тра величины не лежит в поперечной плоскости. Вследствие несимметрии носо­вой и кормовой оконечностей появляется смещение центра величины в продоль­ном направлении и пара, образуемая весом судна и силой поддержания, не будет совпадать с плоскостью кренящей пары. Разлагая образующуюся пару на состав­ляющие в поперечной и продольной плоскостях, получим, что поперечная состав­ляющая уравновесит кренящую пару, а продольная вызовет наклонение судна в продольном направлении. Момент этой продольной составляющей пары называ­ется деривационным моментом. При обычной форме обводов дифферент, вызван­ный деривационным моментом, оказывается малым, им пренебрегают и рассмат­
ривают не действительную пространственную траекторию центра величины, а ее проекцию на плоскость наклонения. Эта проекция траектории ЦВ называется кривой центра величины (кривой С).

Для построения кривой С предварительно рассчитывается зависимость ме- тацентрического радиуса от угла крена согласно выражению (3.7):

V

Здесь V = const - объемное водоизмещение, а 1_Х (в) - центральный поперечный момент инерции площади равнообъемной ватерлинии при угле крена в, который вычисляется по теоретическому чертежу.

Зависимость г{в) показана на рис.4.1, она полностью определяет кривую С, которая может быть построена графически либо рассчитана аналитически.

При графическом построении пользуются тем, что метацентрический ради­ус есть радиус кривизны кривой С и ее дуги на малых угловых интервалах 86 заменяют дугами окружностей, радиусы которых рав­ны среднему арифметическому из значений г на концах интервалов. Такое построение изо­бражено на рис.4.2. Откладывая по нормали к кривой С метацентрические радиусы г(< 9), получим положения метацентров тд, яв­ляющихся центрами кривизны кривой С.

Кривая тд, как геометрическое место

Рисунок 4.2. Кривые Сити полярная диаграмма остойчивости

центров кривизны, есть эволюта кривой С

или огибающая ее нормалей, а кривая С - эвольвента или раз­вертка кривой т. Если г (в) при некоторых углах имеет макси­мум или минимум, то по свойст­ву эволюты при тех же углах кривая т имеет точки возврата (точки заострения).

Так как касательная к тра­ектории ЦВ (а следовательно и к кривой С) параллельна ватерли­нии (п.3.3), для которой точка касания является центром вели­
чины, то нормали перпендикулярны к соответствующим ватерлиниям и оп­ределяют линии действия сил поддержания. Тогда длины перпендикуляров GKq, опущенных из центра тяжести судна G на линии Cqitiq, определят плечи остой­чивости Iq. Проведя кривую через точки Kq, получим полярную диаграмму ос­тойчивости, т.е. кривую, изображающую в полярных координатах зависимость плеча остойчивости от угла крена.

Из рис.4.2 видно, что с увеличением угла крена плечо остойчивости сначала возрастает, достигает максимума и далее убывает, обращаясь в ноль при угле кре­на, при котором линия действия силы поддержания пройдет через точку G, и при дальнейшем увеличении угла крена будет отрицательным.

4.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЛЕЧА ОСТОЙЧИВОСТИ

Пусть CpCp+jp на рис.4.3 - перемещение центра величины при наклонении

судна от угла < р до угла cp+dcp. Здесь через ср обозначен текущий угол крена. То­гда для приращений координат ЦВ можно написать:

dy - r(< p) cos (р d(p, dz = r(< p)sm< p dep.

Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до в и учитывая начальные ко­ординаты ЦВ, получим:

в

у(&)= jr(< p) cos < pd< p,

sin (pd(p.

Формулы (4.2) можно рас­сматривать как параметрическое задание кривой С, в которых па­раметром является угол в.

Из того же рис.4.3 для ко­ординат метацентра следуют вы­ражения:

y_m{e)=y{e)-r(e)sme,

z_m(e)=z(e)+r(e)cose, которые через тот же параметр в задают кривую метацентров т.

Рисунок 4. 3. К вычислению координат ЦВ и метацентра

Чтобы получить выраже­ние для плеча остойчивости, об­ратимся к рис.4.4, на котором изображены сила тяжести Р и сила плавучести yV, приложен­ные в точках G и С. Проведем

вспомогательную линию CqH перпендикулярно линии действия силы плавучести

Cqthq. Из рисунка видно, что плечо остойчивости равно: ^{1 =} ~.

Но отрезок CqH определяется суммой проекций на него перемеще­ний ЦВ у и z:

CqH = Ус cos в + (z ~ z_c)sin в, а отрезок CqE равен проекции от­резка GCq =z_g-z_c=a на то же на­правление:

CqE = a sin в, и для плеча остойчивости получим выражение:

/ = j> cos# + zsin#-asin#. (4.4) Отрезок CqH представляет со­бой плечо силы плавучести, изме­ренное от начального положения центра величины Cq, и для данного угла крена определяется только по­ложением точки Cq, т.е. формой по­груженного объема, в связи с чем это плечо называют плечом остойчивости формы и обозначают 1ф. Отрезок CqE

есть плечо силы веса судна относительно той же точки Cq, зависящее от положе­ния центра тяжести судна, его называют плечом остойчивости веса и обозначают 1_в. В этих обозначениях выражение для плеча остойчивости запишется в виде:

1 = 1ф-1_в. (4.5)

4.4. ДИАГРАММА СТАТИЧЕСКОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ

Полярная диаграмма хо­тя и наглядна, но неудобна для практического пользования. Поэтому зависимость плеча восстанавливающего момента от угла крена изображают в прямоугольных координатах, откладывая по оси абсцисс уг­лы крена в градусах, а по оси ординат - плечи остойчивости в метрах. Кривая, представ­ляющая эту зависимость, на­зывается диаграммой статиче­
ской остойчивости или диаграммой Рида. Поскольку диаграмма строится для по­стоянного водоизмещения, она же изображает зависимость восстанавливающего момента от угла крена, для чего масштаб момента можно также нанести на оси ординат. Диаграмма статической остойчивости изображена на рис.4.5.

Ввиду симметрии формы судна диаграмма строится только для положи­тельных углов крена (на правый борт). При крене на противоположный борт (0 < 0) диаграмма продолжается как нечетная функция:

К-eh-i(e).

Характерными параметрами диаграммы являются: крутизна начального

/ в участка, максимальное плечо остойчивости угол максимума диаграммы ^т,

угол заката диаграммы 6_V (при котором плечо остойчивости обращается в нуль), площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс. Эти параметры характеризуют ос­тойчивость на больших углах крена.

Рассмотрим свойства диаграммы статической остойчивости и ее связь с ме­тацентрической эволютой. Из выражения (4.4) для производной плеча остойчиво­сти по углу крена найдем:

dl dy _п. dz. „ „

— = cos 0 - у sin в + — sin в + z cos в - a cos в. dd d0 d0

но из (4.1) имеем:

dy dz

-ⁱ- = r cos6>; — = rsin0; dd d0

и после подстановки для производной получим выражение:

— = г - у sin в + z cos 0 - a cos в. dG

Из рис.4.4 видно, что последние три слагаемых правой части изображаются отрезком CqKq с отрицательным знаком, а следовательно производная изобража­ется отрезком тдК0. Но этот отрезок есть измеренное по вертикали возвышение метацентра тд над центром тяжести G, его обозначают Ид и называют обобщен­ной метацентрической высотой:

^ = т_вК_в=к_в. (4.6)

ав

При в -> 0 перемещения центра величины у и z стремятся к нулю и для в = 0 получим:

^dl и

— = г -а = ho,

т.е. при 0 = 0 производная плеча остойчивости по углу крена равна начальной ме­тацентрической высоте. Это ясно и из рис.4.2, так как при 0 0 имеем тд -» Kg ^G и, значит, hg -> Aq.

Из той же формулы (4.6) следует, что максимуму диаграммы соответствует угол 0_т, при котором hg = 0, т.е. точки тд и Kg совпадают. На полярной диа­грамме рис.4.2 это соответствует углу, при котором отрезок GKg нормален к ме­тацентрической обертке.

Свойством касательной пользуются для уточнения начального участка диа­граммы. Для построения касательной на рис.4.5 по оси абсцисс откладывают от­резок OA, равный одному радиану (57, 3°), а по перпендикуляру к оси - отрезок АВ, равный ho. Прямая ОВ и будет касательной к диаграмме в начале координат. Возможно и обратное использование свойства касательной - для определения по диаграмме начальной метацентрической высоты. Однако, ввиду погрешности при графическом проведении касательной и погрешности в построении диаграммы, такой способ не может обеспечить хорошей точности определения метацентриче­ской высоты.

Уравнение касательной как прямой, исходящей из начала координат с угло­вым коэффициентом, в осях в и I имеет вид: / = h§ в, т.е. изображает зависи­мость плеча остойчивости, даваемую линейной метацентрической формулой ос­тойчивости. На том же рис.4.5 изображена синусоидальная метацентрическая формула: l = h%md. Из рисунка видно, что при малых углах крена все три зависи­мости близки между собой и можно пользоваться простейшей из них - линейной. С увеличением угла крена погрешность метацентрических формул становится существенной, а далее - недопустимой.

Диапазон углов примени­мости метацентрических формул зависит от вида диаграммы статической ос­тойчивости и требуемой точности. Практически принято ими пользоваться до углов крена 10-12°.

В зависимости от со­отношений главных разме- рений и состояния нагруз­ки судна типы диаграмм остойчивости отличаются характерными особенно­стями. У судов с большим отношением ширины к осадке, обладающих боль­шой метацентрической вы­сотой, диаграмма имеет вид выпуклой кривой, рас­положенной под начальной касательной на рис.4.6(a). Такой вид имеет диаграмма остойчивости у танкеров, балкеров и других судов, перевозящих грузы с малым удельным погрузочным объемом.

Рисунок 4. 6. Различные типы диаграмм статической остойчивости

Для судов с высоким надводным бортом и малой начальной метацентриче­ской высотой характерна диаграмма с точкой перегиба и начальным участком, идущим выше касательной рис.4.6(б). Диаграммы такого вида имеют пассажир­ские суда, контейнеровозы. Диаграмму первого типа называют мягкой, а второго
- жесткой. Эти названия связаны с тем, что в первом случае возрастание восста­навливающего момента на начальном участке происходит медленнее, чем по ли­нейному закону, а во втором - быстрее. Заметим, что тип диаграммы может быть разным у одного и того же судна в зависимости от величины начальной метацен- трической высоты, определяемой его загрузкой.

При отрицательной начальной метацентрической высоте диаграмма имеет вид, изображенный на рис.4.6(в). В этом случае начальный участок диаграммы расположен под осью абсцисс, прямое положение судна неустойчиво и оно будет

плавать с углом крена соответствующим устойчивому положению равновесия.

У судов низкобортных с развитыми надстройками (некоторые типы рыбо­ловных судов) встречаются диаграммы с двумя максимумами (двугорбые), как на рис.4.6(г).

4.5. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОЙ ОСТОЙЧИВОСТИ

Задачи о равновесии накрененного судна, встречающиеся в практике экс­плуатации, сводятся к трем основным типам:

1. определение угла крена при действии заданного кренящего момента;

2. определение кренящего момента по известному углу крена, и

3. определение наибольшего кренящего момента, который судно выдерживает не опрокидываясь.

При решении будем поль­зоваться диаграммой, построен­ной в моментах. Если диаграмма построена в плечах, то вместо кренящего момента М_кр следует

использовать кренящее плечо 1_кр.

приведенное к масштабу диа­граммы делением кренящего мо­мента на водоизмещение:

М_кр

р

Допустим, что на судно действует внешний кренящий момент М_кр, не зависящий от уг­ла крена. Положение равновесия найдется из условия равенства кренящего и восстанавливающего моментов. Для определения угла крена отложим по оси ординат диаграммы отре­зок ОС, равный, в масштабе моментов, величине М_кр и проведем горизонталь СА

до пересечения с диаграммой на рис.4.7. Тогда угол в_а и будет искомым углом крена судна. Формально имеется второе решение, определяемое точкой В, однако
оно не имеет практического значения, так как момент м_кр не накренит судно до угла 6ъ. Кроме того, точке А, лежащей на восходящей ветви диаграммы, соответ­ствует устойчивое положение равновесия, а точке В, лежащей на нисходящей ветви, - неустойчивое положение равновесия. Действительно, наклоним судно из положения А на дополнительный малый угол 89 и отпустим его, тогда ставший избыточным восстанавливающий момент вернет судно в начальное положение А. Если уменьшить угол крена на 89, то избыток кренящего момента опять вернет судно в положение А. Таким образом, судно возвращается к равновесию при угле в_а в какую бы сторону мы его не отклонили. Значит, положение А есть устойчи­вое положение равновесия. Наклоним дополнительно теперь судно из положения В. Тогда появится избыток кренящего момента, который будет еще больше кре­нить судно и оно опрокинется. Если же уменьшить угол крена, то избыток вос­станавливающего момента переведет судно в положение А. В обоих случаях суд­но уходит от положения равновесия, определяемого точкой В, значит это поло­жение равновесия неустойчивое.

Нетрудно видеть, что при действии постоянного кренящего момента устой­чивому положению равновесия соответствует вся восходящая ветвь диаграммы.

Обратная задача - определение действующего кренящего момента по углу крена судна для случая постоянного момента решается обратным построением. По оси абсцисс откладываем известный угол крена, проводим вертикаль до пере­сечения с диаграммой и через полученную точку - горизонталь до оси ординат, по которой прочитываем значение действующего момента. Если при отложенном угле крена диаграмма пересекается с осью абсцисс, то крен судна является след­ствием отрицательной начальной остойчивости, а не воздействия внешнего кре­нящего момента.

Третья задача - определение наибольшего выдерживаемого судном креня­щего момента М_кр^тах решается измерением в масштабе шкалы моментов наи­большей ординаты диаграммы статической остойчивости. Если диаграмма по­строена в плечах остойчивости, то наибольший момент найдется по формуле

М_кр^тах = Р 1_тах, где 1_тах - наибольшая ордината диаграммы. Абсцисса максиму­ма диаграммы в_т определит наибольший угол крена, до которого судно может быть наклонено постоянным моментом, не опрокидывая его.

4.6. ДИНАМИЧЕСКАЯ ОСТОЙЧИВОСТЬ СУДНА

4.6.1. О характере действия внешних моментов

Внешние моменты, действующие на судно, различаются по характеру их приложения к судну.

Перекачка жидкого груза между цистернами, расположенными на разных бортах, прием груза на один борт представляют случаи, когда кренящий момент возрастает настолько медленно, что скорость накренения судна практически не­
заметна. В таких случаях можно считать, что в каждый момент времени восста­навливающий момент уравновешивает кренящий и судно все время находится в равновесии. Такие кренящие моменты считаются приложенными статически.

Противоположным по характеру приложения является кренящий момент от действия шквала. Измерения скорости и давления ветра показывают, что при сильных шквалах нарастание давления до полной величины может происходить за единицы и даже доли секунды. За такое время судно не успевает отклониться на сколько-нибудь значительный угол и можно считать, что кренящий момент прикладывается к судну внезапно. Кренящий момент такого характера называется динамическим кренящим моментом, а противодействие судна такому моменту - динамической остойчивостью.

Рассмотренные два случая являются предельными: статическое приложение момента - предельно медленное, динамическое - предельно быстрое. Реальные кренящие моменты по скорости нарастания занимают промежуточное положение.

Встречаются также кренящие воздействия, имеющие характер импульса, т.е. кренящие моменты малой продолжительности, но сообщающие судну конеч- тто угловую скорость наклонения. Примером такого действия может служить рывок буксирного троса после того, как движущееся судно выберет его слабину. Однако рассмотрение такого случая представляет собой специальную задачу.

4.6.2. Основные задачи динамической остойчивости

Допустим, что на судно динамически подействовал кренящий момент М_кр,

который будем считать постоянным. Его график на диаграмме остойчивости изо­бразится горизонтальной прямой AF (рис.4.8). На участке наклонения от А до В кренящий момент больше восстанавливающего и судно будет крениться с возрас­тающей угловой скоростью. В точке В кренящий и восстанавливающий моменты уравновесятся, но судно придет в нее, имея некоторую угловую скорость, поэтому оно будет продолжать крениться. Восстанавливающий момент становится больше кренящего и угловая скорость будет убывать, пока не обратится в нуль при неко­тором угле крена в$_ин, после чего судно начнет возвращаться к положению рав­новесия В, перейдет его и, таким образом, будет совершать колебания около по-

ложения равновесия, пока они не затухнут благодаря силам сопро­тивления и судно не остановится при угле равновесия в_ст.

cm'

Практический интерес представляет наибольший угол наклонения судна, который назы­вается динамическим углом крена. Очевидно, что судно при накло-

& дин > ^ПР^И котором оно ПОЛНОСТЬЮ израсходует кинетическую энер­гию вращения, приобретенную за

счет работы избытка кренящего момента при наклонении от в = 0 до угла равно­весия в_ст. Это условие без учета сил сопротивления может быть записано в виде:

в,

%M_Kp-M _e)de = О,

о

где М_кр > М_в при в < в_ст и М_кр < М_в при в > в_ст.

@дин

Но \М_кр d9 = М_кр в$_ин = А_кр {0$_ин) есть работа постоянного кренящего мо- 0

в.

м max тд

Рисунок 4. 9. Определение наибольшего динамически прило­женного момента, выдерживаемого судном

мента при наклонении судна от 0 = 0 до в_0ин, которая на диаграмме (рис.4.8) изо-

дин

бражается площадью прямоугольника OADE, а ]м_в d9 = А_в (в^ин) ^есть работа

о

восстанавливающего момента при том же наклонении и изображается площадью ОВСЕ. Таким образом, условием определения динамического угла крена является равенство работ кренящего и восстанавливающего моментов, т.е. равенство пло­щадей OADE и ОВСЕ. Так как трапеция OBDE есть общая часть обеих указанных площадей, то их равенство эквивалентно равенству площадей ОАВ и BCD, изо­бражающих соответственно работу избытка кренящего момента и работу избытка восстанавливающего момента. Из сказанного следует, что определение динамиче­ского угла крена, вызванного динамическим моментом заданной величины, сво­дится к нахождению положения вертикали СЕ, ограничивающей равные по вели­чине площади, заштрихованные на рис.4.8.

При малых углах, в пределах линейного участка диаграммы остойчивости, динамический угол крена ровно вдвое превышает статический. В общем случае, в зависимости от типа диаграммы динамический угол крена может быть как менее, так и более удвоенного статического угла.

Вторая задача динамической остойчивости состоит в определении величи­ны динамического кренящего момента, вызвавшего наклонение судна на угол бдин- Решается она построением определяемой абсциссой вертикальной

прямой СЕ на рис.4.8 и подбором горизонтальной прямой AD, вы­полняющей условие равенства заштрихованных площадей ОАВ и BCD. Ордината этой прямой соответствует величине искомого кренящего момента.

Третья задача динамиче­ской остойчивости заключается в нахождении наибольшего дина­мически приложенного креняще­го момента, который судно может выдержать не опрокидываясь. Отыскание этого момента сво­дится к определению такой гори-

91

зонтали AF, которая ограничивает площадь сегмента BCF, равную площади ОАВ (на рис.4.9 заштрихованы). При этом определяется и предельный динамический

угол крена 6™°*, на который судно может быть наклонено постоянным динамиче­ским моментом. Действительно, всякий момент больший, чем OA, наклонит судно на угол больший, чем в^, за которым М_в < М_кр, и судно опрокинется. Момент

меньший, чем OA, наклонит судно на угол меньший 6™°* и останется запас дина­мической остойчивости, определяемый площадью CFD на рис.4.8.

4.6.3. Диаграмма динамической остойчивости

Сравнение площадей на диаграмме статической остойчивости хотя и на­глядно, но не дает прямого способа решения задач динамической остойчивости. Для этой цели служит диаграмма динамической остойчивости (рис.4.10), изобра­жающая зависимость работы восстанавливающего момента от угла крена, опреде­ляемую формулой:

в

А_в{0)= KM dep. (4.7)

Из (4.7) ясно, что диаграмма динамической остойчивости есть интегральная кривая по отноше­нию к диаграмме статической ос­тойчивости, которая является пер­вообразной кривой и определяет­ся равенством:

Из сказанного следуют та­кие свойства диаграммы динами­ческой остойчивости: 1. ордината диаграммы динами­ческой остойчивости при угле в, с учетом масштаба, равна площади диаграммы статической остойчивости до этого же угла 9;

2. в начале координат и при угле заката диаграмма динамической остойчивости имеет соответственно минимум и максимум (устойчивое и неустойчивое по­ложения равновесия судна);

3. углу максимума диаграммы статической остойчивости соответствует точка пе­региба диаграммы динамической остойчивости;

4. диаграмма динамической остойчивости есть четная функция угла крена:

А_в(-в)=А_в(в),

и является кривой, симметричной относительно оси ординат.

о

Рисунок 4. 10. Диаграмма динамической остойчивости и ее связь со статической

Если восстанавливающий момент представить в виде М_в=Р1, то из (4.7) следует:

е

А_в=Р \ld < p = Pd, (4.9)

О

в

где d = J/ d< p называется плечом динамической остойчивости, о

Чтобы выяснить геометрический смысл плеча динамической остойчивости вычислим работу, затрачиваемую при наклонении судна, рассматривая не восста­навливающий момент, а действующие силы.

На судно действуют две силы: сила тяжести Р, приложенная в центре тяже­сти G, и сила поддержания yV, приложенная в центре величины С. Обе силы вертикальны, поэтому их работа не зависит от пути перемещения, а лишь от вер­тикального смещения точек их приложения. Но, вследствие равенства сил по ве­личине и противоположного направления, их суммарная работа отлична от нуля только при различном вертикальном смещении точек G и С и равна произведе­нию силы Р на разность этих смещений, т.е. на изменение вертикального рас­стояния между этими точками:

^Ав = ^р(^ае ~^ао)>

где ад - вертикальное расстояние между точками G и Сд при угле крена в;

«о = z_g - z_c - расстояние между теми же точками в прямом положении судна.

Из сопоставления полученного выражения работы с формулой (4.9) следует:

d = ад -а₀,

т.е. плечо динамической остойчивости есть изменение вертикального расстояния между центром тяжести и центром величины судна при его наклонении.

На полярной диаграмме (рис.4.2) величина ад изображается отрезком КдСд, поэтому, откладывая от точки Кд отрезок GCq = oq, получим плечо дина­мической остойчивости d как расстояние от конца отрезка «о (точки Ng) до цен­тра величины Сд.

4.6.4. Решение основных задач по диаграмме динамической остойчивости

Рассмотрим две основные задачи динамической остойчивости: определение динамического угла крена при действии заданного момента и определение наи­большего динамического момента, выдерживаемого судном.