Смешанное произведение векторов.

Определение 24.1. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора векторного произведения векторов и на вектор .

Обозначается смешанное произведение векторов через .
Используя данное обозначение, определение смешанного произведения кратко можно записать так:

Докажем теперь теорему, раскрывающую геометрический смысл смешанного произведения трех векторов в пространстве , ориентированном правой тройкой.

ТЕОРЕМА 24.1. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах, и взятого со знаком " ", если тройка векторов --- правая, и со знаком " ", если тройка --- левая.
Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Доказательство.
По определению смешанного произведения векторов имеем

Далее по определению скалярного произведения получаем, что

где --- угол между векторами и . Используя формулу , получаем , а по свойству 5. векторного произведения имеем . Поэтому

Заметим, что , где --- высота параллелепипеда. Так как --- правая, то:

1. если --- правая, то (см. рис. 1) и

2. если --- левая, то (см. рис. 2) и

3. если --- компланарны, то, очевидно,
и

Свойства смешанного произведения.

1. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак. Циклическая перестановка не меняет знак смешанного произведения.

Доказательство. Действительно, из доказанной теоремы следует, что при любом порядке сомножителей смешанные произведения равны по абсолютной величине. С другой стороны, из определения ориентации пространства следует, что тройки векторов определяют одну
ориентацию пространства, а тройки векторов другую. Поэтому имеем равенства

2. Скалярный множитель при любом аргументе можно выносить за знак смешанного произведения, т.е.

3. Смешанное произведение линейно относительно каждого аргумента, т.е.

Доказательство свойств 2. и 3. следует из аналогичных свойств векторного и скалярного произведений.

4.

Доказательство. В самом деле, по доказанному свойству 1.

5. Для того чтобы смешанное произведение трех векторов равнялось нулю необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.

Доказательство. Нам нужно доказать только необходимость, поскольку достаточность доказана в теореме 24.1.

Пусть , тогда по определению получаем

Но это возможно только в случаях:

(a) --- компланарны;

(b) --- линейно зависимы, а значит, компланарны;

(c) --- компланарны.

Координатная форма смешанного произведения.

ТЕОРЕМА 24.2. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором и . Тогда

или

Доказательство. По определению смешанного произведения векторов имеем

По формуле получаем

Используя формулу , приходим к формуле . Легко видеть, что правая часть формулы есть разложение определителя третьего порядка, стоящего в правой части формулы по элементам третьей строки. Теорема доказана.

Замечание 24.1. Если векторы и заданы относительно произвольного аффинного базиса , то формула приобретает вид:

Следствие 24.1. Для того чтобы векторы и , заданные относительно произвольного аффинного базиса были компланарны необходимо и достаточно, чтобы

Приложения смешанного произведения.

Решим следующую задачу

Задача 24.1. Пусть три ребра тетраэдра (произвольная треугольная пирамида), выходящие из одной вершины совпадают с векторами . Найти объем этого тетраэдра.

Решение. Из школьного курса геометрии известно, что объемы параллелепипеда и пирамиды вычисляются по формулам

Поскольку основанием параллелепипеда является параллелограмм, а oснованием тетраэдра является треугольник, то площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания тетраэдра. Поэтому получаем равенство

Из теоремы 24.1. следует, что , поэтому получаем, что