Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 10.1. Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Система данных векторов линейно независима.

2. Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов, т.е.

Нетрудно видеть, что представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса однозначно.
В самом деле, если предположить, что существует еще разложение
, то получим равенство

Поскольку система векторов линейно независима, то все числа .

Определение 10.2. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

В этом случае мы будем писать .

Рассмотрим теперь векторное пространство . Докажем несколько теорем о базисе пространства .

ТЕОРЕМА 10.1. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов пространства является его базисом.

Доказательство. По следствию 9.2. такая система векторов линейно независима, а по теореме 7.2. любой вектор пространства является линейной комбинацией трех некомпланарных векторов.

ТЕОРЕМА 10.2. Любой базис пространства состоит из трех векторов.

Доказательство. Пусть --- базис пространства . Он не может содержать более трех векторов по теореме 9.3., так как векторы будут линейно зависимы. Однако он не может содержать менее трех векторов.
Если содержит два вектора , а вектор такой, что --- некомпланарны, то по следствию 9.2. не может быть разложен по векторам и . Тем более один вектор не может служить базисом пространства .

Определение 10.3. Число векторов в любом базисе называется размерностью векторного пространства.

Таким образом, размерность векторного пространства равна трем. Обозначение: .

Различают два вида базисов.

1. Аффинный --- базисные векторы имеют произвольную длину и углы между ними любые. Произвольный аффинный базис мы будем обозначать .

2. Ортонормированный или декартов базис, частный случай аффинного базиса. Этот базис будем обозначать , базисные векторы этого базиса единичные и взаимно перпендикулярные

Замечание 10.1. Поскольку ортонормированный базис есть частный случай аффинного, то всё, что доказано для аффинных базисов справедливо и для ортонормированных, но не наоборот.