Свойства умножения вектора на число.

ТЕОРЕМА 5.1. Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

1. и .

2. .

3. .

4. .

Доказательство. Справедливость равенства 1. сразу следует из определения произведения вектора на число.

Заметим, что если хотя бы одно из чисел равно нулю или хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость остальных равенств очевидна. Поэтому приводим доказательство свойств 2, 3.4 при условии, что .

2. Обозначим через и . По определению произведения вектора на число имеем

Отсюда следует, что . Докажем теперь, что . Возможны два случая: или . Рассмотрим первый случай. Так как , то . С другой стороны, если (), то по определению произведения вектора на число

Значит в первом случае .

Аналогично, рассматривая второй случай , убеждаемся, что . Следовательно, и свойство 2. доказано.

3. Отложим от какой-нибудь точки вектор , а затем от точки --- вектор . По правилу треугольника , т.е . Рассмотрим гомотетию с коэффициентом и с центром в некоторой точке , не лежащей на прямых и . Пусть точки при этой гомотетии переходят в точки соответственно. По лемме 5.1.

или . С другой стороны, по правилу треугольника , т.е. .

4. Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай. .
От некоторой точки отложим вектор , а затем от точки --- вектор . По определению произведения вектора на число получаем, что
. Так как , то , поэтому точка лежит между точками и , следовательно, или . Но числа и имеют одинаковые знаки, поэтому . Таким образом,

Векторы и одинаково направлены, если , т.е. , и противоположно направлены, если , т.е. . Учитывая равенство , получаем . С другой стороны, .

Второй случай. .
Если (то есть ), то левая часть доказываемого равенства есть нуль-вектор. Но и правая часть равна нулевому вектору.
Пусть теперь . Так числа и имеют разные знаки, то либо и , либо и имеют один и тот же знак. Пусть, например,
и имеют один и тот же знак. Тогда по доказанному первому случаю:

или после очевидных действий

.
Доказательство теоремы закончено.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Замечание 5.1. В курсе алгебры дается следующее определение векторного пространства над множеством действительных чисел.

Пусть --- непустое множество, элементы которого называются векторами и пусть на этом множестве определены две операции сложения и умножение вектора на действительное число. Если эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

1. Для любых векторов :

2. Для любых векторов :

3. Существует вектор (нуль-вектор) такой, что для любого вектора

4. Для каждого вектора существует вектор

5. Для любого вектора

6. Для любых действительных чисел и любого вектора

7. Для любых действительных чисел и любого вектора

8. Для любого числа и любых векторов и
,

то называется векторным пространством над множеством действительных чисел.

Отметим, что с выше определенными линейными операциями является векторным пространством над множеством действительных чисел (говорят, что построена конкретная реализация векторного пространства, т.е. указано строение множества и конкретно определены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число). В дальнейшем иногда мы будем давать определения понятий для произвольного векторного пространства, которое будет обозначаться через и выяснять геометрический смысл этого понятия или его особенности для пространства .