Линейная свертка

Если ЛПР может не только ранжировать критерии, но и дать сравнительную количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется обобщенный показатель вида

, (10.17)

где С_i - положительные числа, отражающие веса критериев в структуре предпочтений ЛПР. При групповом ЛПР C_i находятся по индивидуальным весам одним из методов обработки экспертных оценок. Обычно значения С_i нормируются так, чтобы =1. Как следует из теоремы 5, точка максимума функции (10.17) при положительных С_i является эффективной.

Данный способ решения многокритериальной задачи имеет существенные недостатки. Во-первых, большие затруднения возникают при определении весов. Одно дело – расположить критерии по важности, и совсем другое - оценить на сколько или во сколько один критерий важнее другого. Во-вторых, неизвестна связь между значениями весов и значениями критериев в точке максимума F (Х). Очень часто эта зависимость оказывается существенно нелинейной (даже в линейных задачах), включая зоны нечувствительности значений f_i к изменению C_i. Поэтому для получения решения, удовлетворяющего ЛПР, приходится максимизировать F (X) для нескольких наборов С _i. Наконец, заметим, что в свертке (10.17) целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения. С этой целью лучше представлять критерии в относительных единицах, беря за базовое максимальное или желаемое значение. Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная многокритериальная проблема.

Пример 10.1. Рассмотрим задачу линейного программирования с тремя критериями: максимизировать

f ₁(X) =- 3 x ₁ + 2 x ₂,

f ₂(X) = 4 x _{1 +} 3 x _2,

f ₃(X)=2 x ₁ - 5 х ₂

при условиях

2 x ₁ + 3 x ₂ 18,

2 x ₁+ x ₂ 10,

x ₁, x ₂ 0.

Допустимая область и линии равного уровня критериев показаны на
рис.10.9. Максимальное значение функции f ₁(X) равно 12 и достигается в точке А(0, 6), при этом =18, =-30; max f ₂(X)=24 в точке В(3, 4), где =-1 и =-14; mах f ₃(Х)=10 в точке С(5, 0), в которой =-15 и =20. Если взять свертку с равными весами, то есть

то результат максимизации F (Х), как легко убедиться, совпадает с максимизацией одной функции f ₃(Х).Таким образом, при равных весах решение по линейной свертке дает наилучшее значение f ₃ и наихудшее для f ₁. Используя параметрическое программи­рование, можно определить диапазон значений C_i (зону нечувствительности), в котором оптимальное решение по F (Х) будет оставаться в точке С.