Определения.

Для описания предпочтений используют бинарные отношения, вводимые на множестве А сравниваемых объектов. В многокритериальной задаче роль таких объектов играют X или Y на множествах D и G соответственно.

Если из двух объектов a и b ЛПР выбирает a, то говорят, что a предпочтительнее b. Все пары вида (a, b), где a, bÎ А, для которых a предпочтительнее b, образуют множество, называемое отношением строгого предпочтения на А. Такое отношение обозначают символом ý (a ý b или a P b, где Р – предпочтение).

Объекты a и b неразличимы для ЛПР, если они одинаковы по предпочтительности. Это значит, что не выполняется ни отношение a ý b, ни b ý a. Множество всех неразличимых пар (a, b) называют отношением неразличимости или безразличия и обозначают символом ~ (a~b или a I b, I - безразличие).

Очевидно, что для любой пары a, b A выполняется только одно из трех соотношений: a ý b, b ý a, a~b. Объединение P и I дает отношение нестрогого предпочтения, обозначаемого символом (a b или a R b). Отношение a b означает, что a не менее предпочтительно, чем b.

В соответствии с этими определениями решение Х * D (вектор Y * G) называют оптимальным по отношению ý на множестве D (G), если не существует другого решения Х D (вектора Y G), для которого справедливо соотношение Хý Х * (Yý Y*). Если для любых X D ( Y G) выполняется соотношение X * X (Y* Y), то X * D ( Y * G) называется оптимальным решением (вектором) по отношению.

Чаще все значения частного критерия можно упорядочить по предпочтению без учета значений других критериев. Такие критерии называют независимыми по предпочтению от остальных.

Задачи, в которых все критерии независимы по предпочтению, а отношением строгого предпочтения R является отношение > = (не меньше) называются многокритериальными задачами максимизации (аналогично при отношении «не больше» – задачами минимизации).

Вектор (решение), оптимальный по отношению ≥ на множестве G (D), называется эффективным или парето-оптимальным. Значит, вектор Y ^*Î G является парето-оптимальным (оптимумом Парето), если не существует вектор Y Î G такой, что Y ³ Y^*. Множество таких векторов обозначают через Р(Y)и называют множеством Парето (эффективным множеством). Множество эффективных решений обозначают через Р(X).

Вектор, оптимальный по отношению >, называют слабо эффективным, слабо оптимальным по Парето (слабым оптимумом Парето). Значит, вектор Y ^*Î G слабо парето оптимальный, если не существует Y Î G такой, что Y> Y^*. Множество таких векторов называют слабо эффективным и обозначают через S(Y). Соответствующее множество слабо эффективных решений имеет обозначение S(X ). Если в G не найдётся Y³ Y ^*, то не существует и Y> Y^*. Следовательно, всякий эффективный вектор одновременно является и слабо эффективным, т.е. P(Y)Í S(Y). Аналогично P(X) Í S(X).