Функция нескольких переменных

2.2.1 Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается некоторое множество точек из плоскости , и если каждой точке , имеющей координаты , в силу некоторого закона поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Множество называется областью определения функции .

Функцию от двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат в виде геометрического места точек , а область определения – на плоскости .

Пример. 2.1Геометрическим местом точек для функции является верхняя половина шаровой поверхности (рисунок 1). Область определения находится, исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения (рисунок 2):

(если граница области не включается, то линия изображается штриховой линией).

Рисунок 1

Рисунок 2

2.2.2 Не всегда удается изобразить график функции. Построение графиков упрощается с помощью линий уровня.

Линией уровня называется множество точек , в которых функция принимает одинаковые значения.

Пример. 2.2Построить линии уровня функции .

Согласно определению линии уровня: при , откуда . Это уравнение определяет окружности радиуса с центром в начале координат (рисунок 3). При линия уровня выражается в точку . .

Рисунок 3

2.2.3 Функция нескольких переменных, которую можно записать в виде

,

определяется аналогично.

При это определение лишено наглядности изображения. При область определения функции можно представить в пространстве. В этом случае вместо линий уровня вводится понятие поверхностей уровня. Они точно так же могут вырождаться в какую-либо кривую или точку.