Одномерные структуры

Удобным исследовательским объектом для изучения свойств фотонно-кристаллических структур служат одномерные периодические многослойные структуры, для которых возможно получить точные расчеты, основанные на формализме волн Блоха, описанном в главе 1 и формализме матриц передачи [23], без больших затрат времени для численных экспериментов [9, 10]. Примером одномерной фотонно-кристаллической структуры являются лазеры с распределенной обратной связью, штриховые дифракционные решетки, а также оптические волноводы с периодической продольной модуляцией физических параметров (профиля или коэффициента преломления). В отличие от трехмерных микроструктур, одномерные структуры уникальны для современных поточных технологий, позволяющих производить материалы с необходимым размером решетки.

Как отмечалось ранее, фотонный кристалл, в частности одномерный, - периодическая диэлектрическая структура, период которой состоит, как минимум, из двух слоев. Общие свойства периодических структур даны в главе 1 (см. разд.1.7). Рассмотрим простейший пример одномерной бесконечной периодической структуры (рис.3.1). Показатель преломления такой структуры определяется с помощью периодической функции n(z). Оптическая толщина слоев в фотонном кристалле должна составлять четверть длины волны. Таким образом, одномерный фотонный кристалл есть ничто иное как, хорошо известное зеркало Брэгга, описанное в главе 1 и состоящее из альтернативных слоев с низким и высоким показателем преломления. Такая структура препятствует распространению света в определенном диапазоне длин волн, зависящем от угла падения плоской волны на структуру. Другими словами для фотонно-кристаллических структур существует область частот, где распространение света внутри материала частично или полностью запрещено.

Рис.3.1. Схематическое представление одномерной фотонно

кристаллической структуры с периодом L.

Теоретический анализ фотонно-кристаллических структур подразумевает решение уравнений Максвелла в периодической диэлектрической среде. Расчет распространения света в одномерной фотонно-кристаллической структуре может быть выполнен на основе модели Кронига-Пенни [8]. Волновое уравнение для этой системы имеет вид:

_,

где w – угловая частота, b=n(w/c)сos(j) – продольная постоянная распространения, j – угол падения луча на структуру.

Решением этого уравнения является плоская волна, модулированная с периодом решетки, вида:

,

где E_K(z) – периодическая функция зависящая от частоты (нижний индекс К) с периодом L, т.е. E_K(z)= E_K(z+L).

В теории твердого тела это функция Блоха. Вследствие периодичности решения для E_K(z) имеют вид:

Постоянные A, B, C, D представляют собой матричные элементы, удовлетворяющие условию непрерывности функции и ее производной на границе раздела сред. Получаем систему из четырех линейных, однородных уравнений решая которую получим характеристические уравнения для ТЕ и ТМ волн. Полученные уравнения позволяют построить дисперсионные зависимости w=w(K_Б) для обеих поляризаций.

Одномерный фотонный кристалл отражает свет соответствующей длины волны при нормальном падении. Линия k_y/L= -0, 8 (рис.1.8, глава 1) в нашем случае соответствует нормальному падению, то есть волна распространяется в z направлении. Область действительных значений волнового вектора соответствует пропусканию света, на рисунках ее символизируют заштрихованные места. Не заштрихованные области символизируют фотонные запрещенные зоны для k_y/L< 0 (непропускание) и области, в которых распространение возможно для k_y/L> 0. Как известно из теории волноводов [11], ниже отсечки направляемые моды переходят в моды излучения, которые могут распространяться в фотонном кристалле. Таким образом, фотонные запрещенные зоны могут быть описаны как продолжение направляемых мод за отсечку. Эффект непропускания (отражения) света в такой структуре используется в многослойных диэлектрических зеркалах. При изменении угла падения область запрещенных частот смещается.

С другой стороны, при распространении излучения параллельно слоям, такая структура представляет собой многоканальный планарный волновод, в котором может быть существенной связь каналов. Эта связь ведет к «размазыванию» дисперсионных кривых отдельно взятого планарного волновода и образованию зоны, подобной зонам твердого тела (зоны пропускания). Линия k_y/L = 0 соответствует скользящему падению на структуру (отсечке направляемых мод). При частотах ниже величины отсечки, как известно, постоянная распространения становится мнимой, а волна затухающей. Таким образом, при наклонном падении возможно возбуждение и направляемых мод многоканальных волноводов и частичное пропускание/непропускание. Следовательно, фотонные запрещенные зоны могут быть описаны как продолжение направляемых мод за отсечку.

Представленный обобщенный подход к описанию одномерных фотонных кристаллов позволяет наиболее удобным образом, описывать многие особенности распространения излучения, свойственные таким структурам [25].