Идея целостного курса наглядной геометрии создает определенную автономию начальной школе, позволяет ее выпускникам переходить к профессиональному обучению.

В связи с намечаемым переходом на всеобщее начальное шестилетнее обучение (который начал осуществляться в России в конце революции 1917 г.) возникла идея создания целостного и достаточно информативного курса наглядной геометрии.

Начальные геометрические понятия изучались на первом и втором годах обучения совместно с изучением арифметики. На третьем и четвертом годах обучения геометрия изучалась систематически на отдельных уроках.

§ 2. Краткие исторические данные

Геометрия возникла в глубокой древности. Вот что писал о ней в IV в до н.э. древнегреческий ученый Эвдем Родосский: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы».[22; с.105]

Постепенно геометрия превращалась в математическую теорию, систематические ее изложения появились в Греции уже в V в до н.э., но они не дошли до нас, очевидно, потому, что всех их вытеснили «Начала» Евклида (III в до н.э.). В этом произведении геометрия была представлена в виде такой стройной системы, что ничего принципиально нового математики не смогли добавить к ее основам в течении 2000 лет. В ней Евклид представил современную ему математику как самостоятельную теоретическую науку, так, как, в конце концов, ее понимают и теперь. Так как геометрия имеет своим предметом пространственные формы в «чистом виде», то ее методы умозрительны, т.е. получение одних утверждений из других возможно только с помощью рассуждений. В «Началах» геометрия разделялась на лонгиметрию (измерение длин), планиметрию (измерение площадей), стереометрию (измерение объемов). Таким образом, евклидова геометрия имеет предметом изучения главным образом метрические свойства геометрических фигур.

Евклид начинает изложение геометрии с определения некоторых понятий. Все остальные понятия устанавливаются уже через определенные понятия. Но изучение геометрии не может начинаться с определений. Каким же способом можно объяснить смысл основных исходных понятий? Для этого нет иного способа, кроме разъяснения на примерах и подробного описания их характеристических свойств.

Среди немногих основных понятий геометрии понятие точки и прямой самые первоначальные. Что такое точка? Ответить на этот вопрос трудно. Например, в черчении точкой можно считать след карандаша при его прикосновении к бумаге. По сравнению с космическими расстояниями размерами нашей планеты можно пренебречь, а в астрономии Земля во многих случаях считается точкой.

Аналогичные трудности возникают и при попытках определить прямую.

Некоторые свойства основных отношений хорошо представлены на основании опыта. Например, «прямая проходит через точку» или «через точку можно провести прямую», «через две различные точки можно провести прямую, и притом только одну».

Такие утверждения Евклид назвал аксиомами, или постулатами. Все остальные утверждения должны получаться из них на основе умозрительных выводов. Попытки доказать его как следствие других аксиом не привели к успеху. Только в 1826 г. Н.И. Лобачевский доказал, что это невозможно. Он построил столь же совершенную, как и геометрия Евклида, дедуктивную систему, в которой через точку вне прямой проходит более чем одна прямая, параллельная данной. Лобачевский допускал, что, хотя в обычных масштабах геометрия Евклида верна с большой точностью, отклонения от нее можно было бы заметить посредством астрономических наблюдений. Он был уверен, что вопрос о том, какая из геометрий описывает реальное физическое пространство может быть решен только экспериментально.

После гениального открытия Лобачевского стало ясно, что могут существовать разные геометрии, которые затем и появились. Это вызвало необходимость уточнения самого предмета геометрии, уточнения и обобщения понятия пространства в математике. Термин «пространство» стали понимать как совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций и т.п.), в которой имеются пространственно подобные отношения, такие как непрерывность, расстояние и прочее. Эти отношения и определяют то, что можно называть «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль точек пространства, а множества точек – роль фигур.

Пространство стало возможным классифицировать по типам отношений, положенных в основу их определения.

Это позволило в богатстве всех свойств евклидова пространства выделить и изучать отдельные группы свойств, отличающиеся определенной устойчивостью, сохраняющиеся при довольно существенных искажениях формы и расположения фигур. Такого рода исследования породили новые геометрии внутри евклидовой.

Как мы уже говорили, первоначальные геометрические представления возникли еще у первобытного человека. Формой предметов он руководствовался при сборе съедобных плодов, выборе наконечников для орудий охоты. Более глубокими стали эти представления, когда человек научился сам шлифовать камни и изготовлять из них ножи и наконечники нужной формы. Чтобы соорудить простейшее жилище, ему опять сначала нужно было представить форму будущей постройки. Для изготовления удобной одежды надо было правильно размерить и разрезать шкуры животных. Первобытному художнику, высекающему наскальные рисунки, впервые пришлось столкнуться с изображением пространственных фигур на плоскости. На этом этапе форма предметов хотя и играла важную роль, но еще не рассматривалась отдельно от остальных свойств.

На протяжении тысячелетий в процессе практической деятельности человек все лучше и лучше овладевал различными геометрическими формами. Важную роль в этом сыграли развитие ремесел, строительного искусства и земледелия. Так, например, изобретение гончарного круга позволило сформировать представление о телах вращения.

Первые сведения геометрического характера были известны еще во II тысячелетии до н.э. эти сведения можно найти в источниках, сохранившихся от цивилизаций Древнего Востока.

В определенный исторический период в Древнем Египте строительное дело и земледелие получили особенно интенсивное развитие. Здесь строились огромные величественные пирамиды – усыпальницы фараонов. Строительство таких сооружений было сложной не только технической, но и геометрической задачей. Древние строители успешно справлялись с ней.

В Египте наиболее плодородные земли находились по берегам реки Нил. Ежегодные разливы Нила смывали границы земельных участков, и их постоянно приходилось восстанавливать. Это было связано со сложными чертежными, измерительными и вычислительными работами. Выполняя эти работы, египтянам приходилось решать довольно трудные планиметрические задачи.

Для измерения, хранения и продажи собранного урожая изготовлялась посуда разнообразной формы и размеров. Нахождение ее вместительности – уже стереометрическая задача.

Практические задачи, которые приходилось решать египтянам, позволили накопить достаточно большое количество геометрических знаний. Об этом можно судить по дошедшим до нас папирусам математического содержания. Из этих свитков видно, что египетские писцы могли справляться с разнообразными математическими задачами. Однако доказательств и вывода правил решения в них нет. Они представляли собой собрание частных решений отдельных задач. Очевидно, что большинство правил было получено в процессе измерений и вычислений. Наряду с верными правилами в свитках встречаются ошибочные, которые, тем не менее, давали результаты, удовлетворяющие запросы практики.

Из сказанного видно, что геометрия в Египте в единую цельную науку еще не сформировалась.

Начиная с VII – VI вв. до н.э. развитие геометрии связано с именами ученых Древней Греции. Греки, которые вели оживленную торговлю с Египтом, знакомились с различными знаниями, добытыми египтянами. В частности, они познакомились с наукой о землемерии, которая возникла при восстановлении границ земельных участков в долине Нила.

Не случайно, что само слово «геометрия» в переводе с греческого означает землемерие. По-гречески земля – «геос», а измеряю – «метрио».

Слово «геометрия» недолго сохраняло свое первоначальное значение – измерение земли. Скоро содержание этой новой дисциплины стали понимать в более широком, привычном нам смысле.

Отцом геометрии принято считать греческого купца и философа Фалеса из города Милета. Греческие ученые Фалес, Пифагор, Платон, Демокрит, Гиппократ, Никодим, Евдокс, Аристотель, Минехм и др., позаимствовав знания у египтян, дополнили и уточнили их. Они впервые осознали, что одни геометрические утверждения можно получать из двух с помощью рассуждений. Такие рассуждения в математике принято называть доказательствами.

По мере накопления новых результатов перед греческими учеными встала задача систематизировать эти результаты, свести их вместе и написать учебник. Эту гигантскую работу успешней других сумел выполнить Александровский геометр Евклид, живший в IV – III вв. до н.э. Евклид написал учебник «Начала», состоящий из 13 книг. Составленные им «Начала» систематически излагают геометрические результаты, которые почти полностью охватывают содержание современных школьных учебников геометрии.

Дальнейшее развитие геометрии в Греции связано с именами Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея…