Блоховские волны и зонная структура

Периодическая слоистая среда эквивалентна одномерному кристаллу, который инвариантен относительно трансляций на постоянную решетки. Оператор трансляции Tz=z-lL, где l –целое число. Отсюда следует, что:

.

Полученная выше матрица ABCD является представлением оператора трансляции на элементарную ячейку. Согласно теореме Блоха вектор электрического поля нормальной моды в периодической слоистой среде имеет вид:

,

где E_K(z) – периодическая функция зависящая от частоты (индекс К) с периодом L, т.е. E_K(z)= E_K(z+L). Используя представление с помощью вектор-столбцов и условие периодичности запишем уравнение на собственные значения для блоховской волны:

_. (1.51)

Фазовый множитель e^iKL является собственным значением матрицы трансляции ABCD и удовлетворяет характеристическому уравнению:

_,

решение которого имеет вид:

_. (1.52)

Собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, являются решениями уравнения (1.51) и с точностью до произвольной постоянной записываются в виде:

.

Соответствующий собственный вектор столбец для n -й элементарной ячейки дается выражением:

_.

Уравнение (1.52) дает искомую зависимость между w, k_y и K_Б для волновой функции Блоха в виде дисперсионного уравнения:

_. (1.53)

Режимы при которых |(A+D)/2|< 1, отвечают вещественному K_Б и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. В случае |(A+D)/2|> 1, имеем K_Б =mp/L+i K_Б z, т.е. в K_Б присутствует мнимая часть и блоховская волна затухает. Эти области частот соответствуют запрещенным зонам. Границы запрещенной зоны определяются из условия |(A+D)/2|=1. Уравнение (1.53) определяет блоховское волновое число K_Б вдоль направления оси z для блоховской волны с частотой w и y- составляющую k_y волнового вектора. Эту дисперсионную зависимость w(K) можно представить графически в виде поверхности в трехмерном пространстве (K_Б, k_y, w) для ТЕ и ТМ волн(рис.1.8). Сечения этой поверхности плоскостями K_Б=mp/L представляют собой кривые, которые определяют границы зоны. Область действительных значений волнового вектора соответствует пропусканию света, на рисунках ее символизируют заштрихованные места. Не заштрихованные области соответствуют запрещенным зонам.

Для частного случая ТМ мод имеются некоторые особенности. Дисперсионное уравнение для этих волн имеет вид:

Дисперсионная зависимость для ТМ волн представлена на рис.1.9 (б). Очевидно, что для TM мод фотонная запрещенная зона сужается и стремится к нулю. Это может происходить по двум причинам: 1) вследствие существования угла Брюстера, при котором, как известно отсутствует отражение и, следовательно, будет отсутствовать запрещенная зона (это происходит при условии k_y =(w/c)n₂sinJ_Б, где J_Б – угол Брюстера). В нашем случае углу Брюстера соответствует линия k_y./L = - 0.246. На рис.1.8.(б) хорошо видны эти места, соответствующие сжимающейся к нулю запрещенной зоне. Вблизи этих точек можно заметить очень узкую запрещенную зону, которая своим положением и размером строго зависит от относительного показателя преломления.

а) б)

Рис.1.9. Зонная структура для ТЕ (а) и ТМ (б) волн. Темные области соответствуют разрешенным зонам. V – частота нормированная на период.