Одномерные периодические среды

В современной оптике часто приходится иметь дело с одномерной периодической средой, тензор диэлектрической проницаемости которой удовлетворяет условию , где L - период, l – некоторое целое число (рис.1.7). При падении на периодическую слоистую среду свет будет претерпевать отражение и преломление на каждой границе раздела. Интерференционные максимумы при отражении возникают при условии которое называется условием Брэгга, q - угол падения. Конструктивная интерференция возникает, когда оптическая разность фаз

Рис.1.7. Схематическое представление периодической слоистой среды

Распространение электромагнитного излучения в таких средах подчиняется волновому уравнению:

(1.43)

Так как среда периодическая, диэлектрический тензор e можно разложить в ряд Фурье:

(1.44)

где G пробегает все векторы обратной решетки, включая G=0. В одномерном случае:

В физике твердого тела вектор G называется вектором обратной решетки. В одномерной периодической среде вектор g параллелен оси z. Вектор электрического поля в такой среде можно выразить через интеграл Фурье:

(1.45)

подставляя выражения (1.45) и (1.44) в (1.43) получим бесконечную однородную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов A(k) и A(k-G):

(1.46)

Эту систему уравнений можно разбить на несколько подсистем, каждая их которых относится к волновому вектору K_Б и содержит уравнения относительно A(K_Б) и A(K_Б-G) со всевозможными векторами G. Каждая такая подсистема может быть решена по отдельности [8]. Решение подсистемы, характеризуемой вектором K_Б, можно записать в виде:

(1.47)

В одномерном случае:

(1.48)

является периодической функцией с периодом L. Выражение (1.47) определяет нормальную моду распространения. Более общее решение (1.45) – линейную суперпозицию этих нормальных мод. Для однородной в x- и y - направлениях среды e не зависит от x и y, тогда из (1.47) и (1.48) находим выражение для блоховской моды электрического поля:

(1.49)

где E_K(z) – периодическая функция от z, K_x, K_y, K_z – компоненты вектора Блоха K_Б. В этом случае, задавая частоту w и набор величин (K_x, K_y), из уравнений (1.46) можно определить K_z. Существуют области значений w, для которых K_z становится комплексным числом, и, следовательно, блоховская волна (1.49) оказывается затухающей. Падающее излучение от этих областей будет полностью отражаться. В диапазоне рентгеновского излучения это явление называется брэгговским отражением. А области частот, в которых распространение отсутствует – запрещенными зонами.

Наибольший интерес представляют явления и устройства, использующие периодические среды в области их запрещенных зон. Найдем приближенные решения для блоховских волн, когда условие Брэгга приблизительно выполняется. Считаем, что 1) волна распространяется в направлении оси z (т.е. K_x =K_y =0); 2) вектор поля перпендикулярен волновому вектору (K_Б× E=0); 3) среда изотропна (т.е. e_l – скалярная величина). Запишем соответствующую систему уравнений:

Для нахождения блоховской волны с волновым числом K_Б нужно решить эту систему уравнений с k= K_Б, K_Б ±g, K_Б ±2g, … и пренебрегая малыми величинами. При условии:

основными членами являются A(K_Б) и A(K_Б –g), т.е. между составляющими плоских волн A(K_Б) и A(K_Б –g) имеется резонансная связь. Пренебрегаем всеми другими коэффициентами, тогда система уравнений для блоховских волн с волновым числом K_Б имеет вид:

Как известно, система уравнений имеет нетривиальное решение только в случае, когда ее детерминант равен нулю, т.е.:

Последнее уравнение представляет собой явную запись дисперсионного уравнения w=w(K_Б), определяющего зависимость w(K_Б). На рис.1.7. представлено графическое изображение дисперсионного уравнения для типичной периодической среды. Волны с частотами в запрещенных зонах не могут распространяться, поскольку вследствие брэгговского отражения они затухают. Условие Брэгга (ú K_Б –gú» K_Б) выполняется точно при K_Б =(1/2)g=p/L, тогда получаем следующие два корня w² , которые определяют границы спектральной полосы:

(1.50)

При всех значениях частоты, которые находятся в интервале между w₊ и w_- , корни дисперсионного уравнения для K_Б являются комплексными числами, вещественная часть которых равна p/L. Волны при этом являются затухающими, а их спектральный диапазон называется «запрещенной зоной». При значениях частоты, лежащих вне запрещенной зоны, корни дисперсионного уравнения являются вещественными и решения отвечают распространяющимся волнам.

Рис.1.8. Дисперсионные кривые в области запрещенной зоны

Ширина запрещенной зоны определяется величиной Dw_gap =ê w₊ - w_- ê и в соответствии с (18) дается выражением:

Таким образом, ширина запрещенной зоны пропорциональна коэффициенту Фурье для диэлектрической проницаемости. Мнимая часть волнового числа в центре запрещенной зоны пропорциональна относительной ширине этой зоны и дается выражением:

Все выше изложенное относилось к случаю распространения волн вдоль оси z. Для произвольного направления распространения (т.е .K_x и K_y ¹ 0) дисперсионное уравнение оказывается более сложным и зависит от состояния поляризации.