Потенціал плазми. Фізичний зміст та взаємний зв'язок з параметром нерівноважності.

Розподіл вільних зарядів у потенційному полі частки звичайно задають у вигляді розподілу Больцмана. У термічній плазмі іонізаційна рівновага забезпечується зіткненнями між електронами з концентрацією , іонами і атомами легкоіонізуємої домішки, загальна концентрація якої .

Розглянемо розріджену плазму з конденсованою фазою, що дозволяє розглядати окрему заряджену частку в плазмі. Такий підхід відповідає моделі чарунків Вігнера – Зейтца, уперше застосованої Гібсоном. При цьому вважається, що на границі чарунку потенціал і електричне поле дорівнюють нулю, що може бути справедливим тільки для одиночної частки в нескінченній плазмі. Якщо обсяг плазми обмежений, то на границі об’єму обов'язково виникає шар просторового заряду за рахунок різної рухливості електронів і іонів.

Рівняння Пуассона-Больцмана для розподілу потенціалу в околиці окремої конденсованої частки в рамках моделі Вігнера – Зейтца можна записати в сферично симетричному вигляді:

, (7.1)

де і концентрації електронів і іонів в області деякого нульового значення потенціалу, якому варто визначити.

Для вирішення рівняння (7.1) необхідно задати крайові умови. При умові виконання термодинамічної рівноваги системи в цілому можна допустити умови стаціонарності процесів та однорідності фізичних властиво стей плазми. Тоді слід вибрати граничні умови, тобто задати значення потенціалу на границі розподілу фаз (в даному випадку це буде значення потенціала поверхні частки) і на границі об’єму плазми.

Звичайно, потенціал поверхні частки визначається в вигляді кулонівського потенціалу:

. (7.2)

Щодо другої граничної умови, то часто припускається, що потенціал та його похідна на нескінченності, або на границі чарунки Вігнера-Зейтца, дорівнюють нулю. Але дослідження інших авторів та експериментальні дані свідчать про недопустимість такої граничної умови.

Розглянемо експеримент, який підтверджує неприйнятність довільних граничних умов. У полум'я трьох – щілинного газового пальника містилися два електроди, як це зображено на рис. 2. В пальник атомного адсорбційного спектрофотометра С-115 вводиться легкоіонізуюча домішка у вигляді водяного розчину карбонату калію. Електроди виконані з сталевих пластин розміром 4x10 см і товщиною 0, 5 см. Електричний зонд являє собою дріт діаметром 0, 2 мм і довжиною 3 мм виконаний з такої ж сталі, що і пластини.

У вимірах зонд попередньо розігрівався до стаціонарного значення температури полум'я і тільки після цього починалася реєстрація плаваючого потенціалу за допомогою высокоомного компенсаційного самописця К-101 з опорем Ом. Температура електродів контролювалася термопарами і складала 1000 – 1050 К, що приблизно в 1, 2 рази менше температури полум'я, що вимірялася трьохколірним пірометром і складала 1200 К.

На рис. 3 представлені результати виміру плаваючого потенціалу зонду для випадку, коли обидва електроди заземлені (крива 1). Як видно, поза кулею просторового заряду, утвореного в плазмі електродами, потенціал зонда щодо заземлених електродів має постійне значення і складає близько 2В.

Рис.2. Схема виміру плаваючого потенціалу зонда.

Рис.3. Потенціал плаваючого зонда у проміжку між плоскими електродами.

1 - = 0 В; І = 0, 01 мка;

2 - = 1 В; І = 0, 85 мка;

3 - = 10 В; І = 1, 7 мка;

4 - = -1 В; І = -0, 62 мка;

1 - = -10 В; І = -0, 71 мка.

Це значення потенціалу можна зв'язати з наявністю в плазмі об'ємного заряду, що обумовлює деяке середнє значення потенціалу, відмінне від нуля. Через те, що робота виходу електрона з поверхні зонда і електродів у плазму однакова, а зонд підключений до електродів через великий опір, то впливом зонда на вимірювання можна зневажити. Якщо провести аналогію між пластинами і конденсованими частками, то можна припустити, що між частками також буде виникати деяке значення потенціалу, величина якого залежить від заряду плазми.

При зміні потенціалу другої пластини розподіл плаваючого потенціалу зонда істотно змінюється, помітно зростає струм. Ріст струму супроводжується зміною нахилу залежності потенціалу, а при потенціалі пластини рівній –10 В і величині струму рівній –0, 71 мка залежність стає нелінійною. Останнє свідчить про вплив струму на рівноважний стан плазми.

У зв'язку з викладеним ми не можемо вибрати нульове значення потенціалу, як граничну умову в плазмі з конденсованою фазою.

Фізичний зміст потенціалу плазми. Розглянемо тривіальне рішення рівняння (7.1) (), що виражається у вигляді: . (7.3)

Відзначимо, що кожна з двох замін приводить рівняння (7.1) до вигляду:

. (7.4)

Усі рішення рівняння (7.4) симетричні відносно прямої (7.3), причому кожне рішення, відмінне від тривіального торкатися цього тривіального рішення не може в силу теореми про існування і однозначність.

Звернемо увага на той факт, що через непарність функції рішення рівняння (7.4), що має локальний мінімум, розташовано в напівплощині , а рішення, що має локальний максимум, розташовано в напівплощині . Отже, якщо на площинах задані значення повного потенціалу і такі, що виконується співвідношення , то розподіл , що має в цьому випадку экстремум, не перетинає пряму і для напруженості поля на площинах виконується співвідношення . Якщо ж виконується співвідношення , то розподіл є монотонно убиваючою, чи монотонно зростаючою функцією і для напруженості поля в цьому випадку справедливо .

Таким чином, рівняння (7.4) має два сімейства рішень, причому власне види рішень залежать від співвідношення між граничними умовами , і тривіальним рішенням , що визначається іонізаційним і зарядовим станом плазми. З цього випливає, що постійною не можна зневажити, як це найчастіше робиться з посиланням на те, що точка відліку потенціалу не впливає на взаємодію часток, що визначається напруженістю поля. Виявляється, що на взаємодію часток у плазмі впливає не тільки різниця потенціалів і , алі і їхнє співвідношення з потенціалом , тому що це співвідношення визначає напрямок електричного поля. Поряд з цим, якщо ми робимо вимір потенціалу, то зручною точкою відліку є потенціал Землі.

Електричне поле в околиці зарядженої частки в плазмі визначається величиною і знаком і локалізовано безпосередньо на її поверхні. Удалині від частки . У цих областях плазма залишається локально електронейтральною, тобто концентрації електронів і іонів дорівнюють деякому значенню . Отже, значення характеризує зарядовий стан об’єму плазми і не може бути відхилено.

Виберемо за початок відліку електростатичного потенціалу в плазмі значення плаваючого потенціалу зонда поміщеного в плазму, тобто будемо вважати його нульовим. (Зрозуміло, що показання приладу, що вимірює потенціал зонда щодо потенціалу землі, будуть відмінні від нуля, тому що зонд сам обурює плазму). Якщо додати в плазму частки конденсованої фази, то міжфазна взаємодія приведе до зміни зарядового стану плазми і зонд покаже деяке інше значення потенціалу. Різниця між попереднім і нинішнім значеннями потенціалу є не що інше, як , що ми називаємо потенціалом плазми. Відповідно зміниться значення до величини , що назвемо квазінеобуреною концентрацією. Зрозуміло, що в електронейтральній плазмі , а квазинеобурена концентрація .

Таким чином, потенціал плазми характеризує величину роботи, яку необхідно зробити, щоб плазма придбала деякий об'ємний заряд .

Якщо плазма містить заряджені конденсовані частки, то в плазмі є деяке середнє значення повного потенціалу . Енергію, отриману об’ємом плазми в результаті придбання заряду , можна знайти з вираження:

.

З іншого боку, енергія електричного поля визначається вираженням:

.

Тоді для одиночної конденсованої частки радіуса , з урахуванням , середнє значення потенціалу буде дорівнювати:

.

З іншого боку, середнє значення потенціалу можна представити в вигляді суми:

, . (7.5)

Звідси одержимо:

. (7.6)

Чисельні розрахунки показують, що в більшості випадків величина досить мала, тому в (7.6) нею можна зневажити (рис.4).

Якщо виконується умова , те можливе застосування дебаївского розподілу і тоді для середніх значень концентрацій будуть справедливі вираження:

, . (7.7)

У рамках моделі чарунків Вигнера – Зейтца обємний заряд шару біля поверхні частки цілком компенсується зарядом частки :

. (7.8)

Рис. 4. Середнє значення відносного потенціалу в залежності від поверхневого потенціалу та відстані від поверхні.

Тут ми врахували, що і на границі сфери . Тоді потенціал плазми, порушений однією часткою в дебаївском наближенні дорівнює:

. (7.9)

Відмінне від нуля значення потенціалу плазми означає, що об’єм плазми заряджений, тобто середні значення концентрації електронів і іонів не рівні один одному.

Рівняння (7.3) легко приводитися до безрозмірного вигляду за допомогою множника автомодельності, що прийнято називати довжиною екранування Дебая:

, (7.10)

де - квазинезбурена концентрація носіїв заряду. При заміні перемінних:

, :

. (7.11)

Рівняння (7.11) описує розподіл потенціалу в безрозмірних координатах у сферичній симетрії. Якщо задати граничні умови, то можна визначити розподіл потенціалу між двума поверхнями, або частинками.