Ранговый коэффициент корреляции Кендалла

Выборочное значение рангового коэффициента корреляции Кендалла между ранжировками и рассчитывается по формуле:

, (3.7)

где – минимальное число обменов соседних элементов ранжировки , необходимых для приведения ее к виду ранжировки .

В основе построения коэффициента Кендалла лежит понятие инверсии. Сравним ранги i -го и s -го объектов: и .

Пары и согласованы, если или . Пары и не согласованы, т.е. ранги образуют инверсию, если или .

Пусть – количество согласованных пар, – количество несогласованных пар. Количество пар, которое можно построить из n объектов равно числу сочетаний .

Определим меру согласия двух ранжировок . Тогда , когда все пары не согласованы (), и , когда все пары согласованы (). Таким образом . Чтобы получить меру связи, которая не зависит от n, разделим M на его максимально возможное значение:

.

Получили формулу для расчета рангового коэффициента корреляции Кендалла (3.7).

Существуют рекомендации, упрощающие подсчет рангового коэффициента корреляции Кендалла. Величина совпадает с числом инверсий. Для подсчета числа инверсий ранжировки и преобразуются к виду , , где , . Очевидно, что число инверсий в ранжировках и совпадает с числом инверсий в ранжировках , :

, где

Формула (3.7) используется для расчета выборочного значения рангового коэффициента корреляции Кендалла только в случае отсутствия объединенных рангов в ранжировках и . В противном случае используется формула:

, (3.8)

где – поправочные величины, .

Значения ранговый корреляционных характеристик и связаны друг с другом. При и при условии, что абсолютные значения этих коэффициентов не слишком близки к 1, их связывает следующее приближенное соотношение: .

При большом объеме выборки n и независимости и оценка рангового коэффициента корреляции Кендалла подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной .

После расчета выборочного значения рангового коэффициента корреляции Кендалла необходимо проверить значимость коэффициента. Для этого выдвигаются гипотезы:

(ранговый коэффициент корреляции Кендалла незначим);

(ранговый коэффициент корреляции Кендалла значим).

Для проверки гипотезы используется статистика , имеющая при условии справедливости нулевой гипотезы и объеме выборки стандартный нормальный закон распределения.

При проверка гипотезы осуществляется с помощью специальной таблицы, позволяющей вычислить критическое значение коэффициента Кендалла [12].

Для значимого рангового коэффициента корреляции Кендалла можно построить доверительный интервал. При этом используется тот факт, что при и значении коэффициента Кендалла не слишком близком по абсолютной величине к 1, . Доверительный интервал для , построенный с вероятностью , имеет вид:

,

где – квартиль уровня стандартного нормального закона распределения.