Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок - широко распространенная логическая операция. Как известно, условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязательно подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не применяя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Математическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить следствия из данных посылок. Поэтому можно, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой информации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

22. Непосредственные умозаключения: преобразование суждений через обращение.

Обращение (conversio)– это преобразование суждения, в результате которого субъект исходного суждения становится предикатом заключения, а предикат – субъектом заключения.

Пример: Обратим суждение «Всякое хищение – умышленное преступление».

(1) В посылке определяем субъект (и его количество), предикат и связку (в явной логической форме):

(2) Определяем распределенность субъекта и предиката:

(3) Меняем местами субъект и предикат:

(4) Сохраняем качество суждения, выражаемое связкой, и определяем количество заключения:

Заключение: Некоторые умышленные преступления – хищения.

Обращение бывает двух видов: простое, или чистое и обращение с ограничением. Если не меняется количество суждения, то обращение будет чистое, или простое. Оно бывает тогда, когда и S, и Р исходного суждения либо оба распределены, либо оба не распределены. Обращение с ограничением получается тогда, когда изменяется количество исходного суждения, т. е. изменяется кванторное слово (так, «все» меняется на «некоторые», и наоборот).

Примеры:

1. Суждение А общеутвердительное. Встречаются два вида обращения:

а) чистое, или простое, обращение, которое бывает при равенстве объемов S и Р (например, в определениях понятий). Пример: “Все квадраты - равносторонние прямоугольники”. → “Все равносторонние прямоугольники - квадраты”;

б) обращение с ограничением, например, суждение “Все дельфины - млекопитающие” обращается в суждение: “Некоторые млекопитающие-дельфины”.

2. Суждение Е общеотрицательное.

Так как в нем всегда и S, и Р распределены, то его обращение чистое, или простое. Например: “Ни один прямоугольный треугольник не является равносторонней фигурой”. → “Ни одна равносторонняя фигура не является прямоугольным треугольником”.

3. Суждение I частноутвердительное. Имеются два вида обращения:

а) обращение чистое, если S и Р не распределены. Например, суждение “Некоторые мастера спорта являются горнолыжниками” при обращении дает следующее суждение: “Некоторые горнолыжники являются мастерами спорта”;

б) когда объем Р меньше объема S, т. е. Р распределен, а S не распределен, как, например, в суждении “Некоторые музыканты - композиторы”, при обращении имеем суждение: “Все композиторы являются музыкантами”. Это обращение с ограничением. Понятие “ограничение” означает только то, что происходит перемена кванторного слова: было “некоторое”, стало “все”.

4. Суждение О частноотрицательное.

Применяя операцию обращения, мы не получим необходимого вывода. Так, например, из истинного частноотрицательного суждения “Некоторые животные не являются собаками” путем обращения нельзя получить истинное суждение.

23. Непосредственные умозаключения: преобразование суждений через превращение.

Превращение (obversio) – это преобразование исходного суждения в суждение, противоположное по качеству, с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения. Осуществляется превращение следующим образом:

Исходное суждение: Лицо, освобожденное от наказания, считается несудимым.

(1) В посылке определяем субъект (и его количество), предикат и связку (в явной логической форме):

(2) Вводим отрицание к связке:

(3) Вводим отрицание к предикату:

Остановимся и еще раз проанализируем отрицание при признаке. К предикату «считается несудимым» присоединяем отрицание – «не считается не-судимым». В предикате соединились два отрицания, два «не», которые мы устраняем, опираясь на принцип: двойное отрицание эквивалентно утверждению: «не считается несудимым» = «считается судимым».

(4) Сохраняем в заключении субъект исходного суждения и его количественную характеристику:

Заключение: Ни одно лицо, освобожденное от наказания, не считается судимым.

По сути, суждение изменило свою языковую форму. В исходной форме, в посылке, предмету приписывается свойство. Превращая суждение, мы мыслим тот же предмет, который не может обладать свойством, несовместимым со свойством, выраженным предикатом. В этом смысл операции превращения.

Превращению подлежат все четыре вида суждения А, Е, I, О. При этом:

1. Суждение А переходит в Е, что записывается А → Е. Структура: Все S есть Р. → Ни одно S не есть не-Р.

Примеры: «Все лисы - хищные животные».→ «Ни один волк не является нехищным животным»; «Все бамбуки – злаки». →»Ни один бамбук не является не злаком».

2. Суждение Е переходит в А, т. е. Е-→ А. Ни одно S не есть Р. → Все S есть не-Р.

Примеры: «Ни один параллелепипед не является плоской фигурой». → «Все параллелепипеды являются неплоскими фигурами»; «Ни одна ель не является лиственным деревом». → «Все ели являются нелиственными деревьями».

3. Суждение I переходит в О, т. е. I → О. Некоторые S есть Р. → Некоторые S не есть не-Р. Пример: «Некоторые грибы съедобны». → «Некоторые грибы не являются несъедобными».

4. Суждение О переходит в I, т. е. О → I. Некоторые S не есть Р. → Некоторые S есть не-Р.

Пример: «Некоторые члены предложения не являются главными». → «Некоторые члены предложения являются неглавными».

24. Непосредственные умозаключения: преобразование суждений через противопоставление предикату.

Противопоставление предикату – это преобразование суждения, в результате которого субъектом заключения становится понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а предикатом – субъект исходного суждения.

Если мы последовательно произведем с суждением превращение и обращение, то совокупность этих операций будет называться противопоставлением предикату.

Исходное суждение: «Покушение на убийство возможно лишь с прямым умыслом».

(1) В посылке определяем субъект (и его количество), предикат и связку (в явной логической форме):

(2) Превращаем посылку, вводя двойное отрицание – к связке и предикату. Субъект сохраняется:

(3) Превращенное суждение обращаем, меняя местами субъект и противоречащий исходному предикат:

Заключение: Ни одно деяние, возможное с косвенным умыслом, не является покушением на убийство.

Таким образом, при противопоставлении предикату общеутвердительное суждение (А) трансформируется в общеотрицательное суждение (Е).

Общеотрицательное суждение (Е) сначала превращается в общеутвердительное (А) «Все S есть не-Р», которое затем обращается в частноутвердительное (I) «Некоторые не-Р есть S».

Частноотрицательное суждение (О) сначала превращаем в частноутвердительное суждение (I) которое, применяя обращение, трансформируем в (I) «В некоторых случаях представляется невозможным говорить об устранении коллизии законов».

Частноутвердительные суждения (I) путем противопоставления предикату не преобразуются.

25. Непосредственные умозаключения: преобразование суждений через отношения по " логическому квадрату".

Выводы из простых категорических суждений могут быть основаны, помимо преобразования субъектно-предикатной структуры, на изменении количественной и (или) качественной характеристики посылки. Благодаря этим характеристикам суждения с одинаковыми субъектами и предикатами могут различаться между собой.

Умозаключения по «логическому квадрату» устанавливают взаимообусловленность истинностных значений суждений одинаковой материи.

Логический квадрат:

На отношении противоречия (контрадикторности) построены непосредственные умозаключения, которые называются диагональными соотношениями.

Из суждения Е («Ни одно S не есть Р») следует отрицание суждения I («Неверно, что некоторые S есть Р»), из отрицания суждения Е («Неверно, что ни одно S не есть Р») утверждение суждения I («Некоторые S есть Р»). Такие суждения эквивалентны.

Подобное же отношение существует и между общеутвердительным и частноотрицательным суждениями (А и О).

Согласно логическому квадрату, отношение контрарности (противоположности) имеет место между общеутвердительными (А) и общеотрицательными (Е) высказываниями, которые не могут быть одновременно истинными, хотя возможна их одновременная ложность. Соответственно, из общеутвердительного суждения (А) следует отрицание общеотрицательного суждения (Е).

Отношение частичной совместимости (субконтрарности) существует между суждениями I и О. Частноутвердительное (I) и частноотрицательное (О) суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Между общеутвердительным и частноутвердительным (А и I), а равно между общеотрицательным и частноотрицательным (Е и О) суждениями существует отношение подчинения. Из суждения «Все S есть Р» выводится суждение «Некоторые S есть Р», из суждения «Неверно, что некоторые S не есть Р» – «Неверно, что ни одно S не есть Р».