Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод кубических сплайнов
Походження терміна " сплайни" пов'язане з гнучкою креслярської лінійкою, якою користувалися для малювання гладких кривих, що проходять через задані точки. Зазвичай для сплайна вибирають кубічний поліном , визначений на інтервалі з . При цьому вся крива являє собою набір таких кубічних поліномів (рис 1.4), з певним чином підібраними коефіцієнтами - параметр сплайна [20, 38]. Малюнок 1.4 Схема методів сплайнов Коефіцієнти на кожному інтервалі визначаються з умов сполучення у вузлах: . Крім того, на кордоні при і ставляться умови . (1.12) Будемо шукати кубічний поліном у вигляді . З умови маємо (1.13) Обчислимо похідні: . вимагатимемо їх безперервності при: : . (1.14) Загальне число невідомих коефіцієнтів, очевидно, так само, число рівнянь (1.13) і (1.14) дорівнює . Відсутні два рівняння отримуємо з умови (1.12) при і : . Вираз з (1.14) , підставляючи цей вираз в (1.13) і виключаючи , отримаємо: . Підставивши тепер вирази для + в першу формулу (1.14), після нескладних перетворень одержуємо для визначення різницеве рівняння другого порядку: . (1.15) З крайовими умовами: (1.16) Умова еквівалентно умові і рівняння. . Різницеве рівняння (1.15) з умовами (1.16) можна вирішити методом прогонки, представивши у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду , де вектор відповідає вектору , вектор F поелементно дорівнює правій частині рівняння (1.15), а матриця A має наступний вигляд:
, де і Метод прогонки, заснований на припущенні, що шукані невідомі пов'язані рекурентним співвідношенням: . Використовуючи це співвідношення, висловимо і через і підставимо в ie рівняння: , де - права частина i-го рівняння. Це співвідношення буде виконуватися незалежно від рішення, якщо вимагати: ; . Звідси випливає: ; . З першого рівняння отримаємо: ; . Після знаходження прогоночних коефіцієнтів і використовуючи рівняння (1), отримаємо рішення системи. При цьому, . Сплайнова інтерполяція хороша тим, що вимагає знання у вузлах тільки значень функції, але не її похідних [34, 36, 43].
5.3 Аналіз програмних аналогів
Програмний продукт спеціалізується для користування в підприємстві горно збагачувального комплексу. Користувачами програмного продукту будуть студенти денної та заочної форми навчання, а також викладачі. В зв’язку з тим, що з кожним роком істотне підвищення тарифів на послуги залізничного транспорту на одну тонну продукції, що робить перевезення не вигідним, то інформаційна система оптимізації планування процесів перевезення має важливе значення для соціально-економічного розвитку придніпровського регіону України. Основна мета продукту – визначити прогнозный план перевезення вугілля, як для самого холдингу, так і для споживачів, а також надати данi про можливий прибуток наступного перiоду.
Як приклад аналогів мною було розглянуто:
Многочлен Лагранжа
Малюнок 1.1 Фіксація однієї ординати
а отже, і на добуток цих різниць, тобто його ступінь не може бути нижче . У такому випадку многочлен повинен мати вигляд (1.1) З умови визначимо значення const , таким чином знаходимо
В отриманому виразі ніякого особливого переваги не має, можна приписати цю особливу роль любому , тобто якщо абсцис поставити у відповідність значення , вказані в будь-який з наступних рядків: ,
то вираз для многочлена, що приймає при відповідних значеннях абсцис чисельні значення, виписані в одній з рядків, буде аналогічно розглянутому, тобто (1.2) Загальне рішення є суперпозицією (сумою) приватних рішень (1.2) (1.3) Це і є інтерполяційний многочлен Лагранжа. За розділами вихідних пар формула (1.3) дозволяє досить просто скласти «зовнішній вигляд» многочлена. , (1.4) формулою Лагранжа можна надати більш стислий вигляд. продифференцируем по . При маємо: . (1.5) Формула Лагранжа з урахуванням (1.4) і (1.5) прийме вигляд:
або (1.6) , .
Метод найменших квадратів
де – точка експериментальних даних з таблиці, - Значення шуканої залежності в точці . Якщо шукану залежність бажано представити многочленом ступеня , то коефіцієнт в ньому представлятимуть невідомі параметри. Підставивши в суму квадратів відхилень шуканий многочлен, отримаємо функціонал, що залежить від цих параметрів:
Щоб функціонал був мінімальний, необхідно всі приватні похідні функціоналу за параметрами прирівняти нулю і систему дозволити щодо невідомих параметрів . Ці дії призводять до наступної системи лінійних рівнянь
Тут – постійний коефіцієнт, що дорівнює сумі, равный сумме - тих ступенів усіх значень аргументів. Для їх ручного обчислення зручно до вихідної таблиці даних додати ще стовпців. – числові значення в правій частині системи лінійних алгебраїчних рівнянь, для підрахунку яких теж зручно до вихідної таблиці даних додати ще стовпців. Демонстрацію методу найменших квадратів проведемо для даних з кількістю точок в таблиці, рівним 4. Максимальна ступінь аппроксимирующего многочлена для такого набору дорівнює 3, так як має виконуватися співвідношення: . Для максимального ступеня аппроксимирующий і інтерполяційний многочлени рівні. У нижньому рядку розміщуємо підсумкові суми по кожній колонці.
Вирішивши систему, знайдемо:
Ця ж таблиця без додавання чого-небудь дозволяє знайти коефіцієнти аппроксимирующего многочлена другого ступеня. Для цього достатньо в системі для полінома третього ступеня прибрати 4-е рівняння, а з решти рівнянь виключити доданки з невідомою . В результаті система рівнянь для полінома другого ступеня буде:
Вирішивши систему, знайдемо:
Аналогічно можна зменшувати число рівнянь для побудови апроксимуючих багаточленів першого і нульовий ступенів [13, 30, 32 33, 44].
Інтерполяціонная формула Ньютона
(1.7) Його залишковий член
При інтерполяції функції в точці за допомогою формули Ньютона (1.7) обчислення доцільно проводити, дотримуючись алгоритму
(1.8) Друга властивість розділених різниць можна використовувати для виявлення помилок в таблицях розділених різниць, які складені для многочленів або функцій, близьких до них. [6, 39]
Формула Ньютона для інтерполяції вперед У інтерполяційної формулою (1.7) зробимо заміну змінної . Тоді вона прийме вигляд (1.9) Для залишкового члена цієї інтерполяційної формули можна використовувати уявлення [1, 17]: . Вказівка. Інтерполяціонная формула (1.9) застосовується для апроксимації функції в точці , близької до . (мал. 1.2) Малюнок 1.2 Умови застосовності формули Ньютона для інтерполяції вперед
Формула Ньютона для інтерполяції назад
Малюнок 1.3 Умови застосовності формули Ньютона для інтерполяції назад то використовують формулу Ньютона для інтерполяції назад: (1.10) Остаточний член в цьому випадку представимо у вигляді [1, 27]: .
6. БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК
1. Амоносов А.А. Вычислительные методы для инженеров. / А.А.Амоносов. – М.: Высшая школа, 1994. – 436 c. 2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. / Акулич И.Л. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с. 3. Бахвалов Н.С., Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.; [3-е изд.], доп. и перераб. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 663 с. 4. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. / БахваловН.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. – Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2000. – 190с. 5. Березин И.С. Методы вычислений. Т.1. / Березин И.С., Жидков Н.П.– М.: Наука, 1966. – 324c. 6. Березин И.С. Методы вычислений. Т.2. / Березин И.С., Жидков Н.П.– М.: Наука, 1967. – 305c. 7. Вайк А. JavaScript в примерах. Пер. с англ. / Ален Вайк. – К.: Издательство «ДиаСофт», 2000. – 304с. 8. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. / Вержбицкий В.М – М.: Высшая школа, 2002. – 840с. 9. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. / Вержбицкий В. М. – М.: Высш.шк., 2001. 383с. 10. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248с.
|