Соответствия и отображения между множествами

A, B – множества

Произведение этих множеств называется множество упорядоченных пар

Упорядоченная пара – это двухэлементное множество в котором зафиксировано какой элемент первый а какой второй

Прямое декартовое произведение состоит из упорядоченных пар

Соответствия:

Соответствием называется любое множество упорядоченных пар с первым элементом из A и вторым элементом из B

Отображения:

ОПР: соответствие F из множества A B назывется отображением из A в B если из любого xϵ a такой что пара X; Y ϵ F

В этом случае пишут что y=f(x)

То есть при данном отображении

У слова отображение есть синоним то есть это тоже самое что функция

Данное определение функции является самым строгим и общим в общем случае отображения множеств

Это есть соответствие fin < = R x R

RxR = {x, y)|x, y ϵ R}

Прямое произведение множества действительных чисел на себя состоит из всех упорядоченных пар действительны чисел. Если считать эти упорядоченные пары парами координат точек так можно получить все точки на плоскости. Так можно получить все точки плоскости. Поэтому можно считать что множество точек плоскости и есть прямое произведение множества действительных чисел на себя.

Рассмотрим первый пример: когда множество конечное

(1)

Правило умножения:

Если имеется два множества элементов и элемент первого множества можно выбрать N способами а второго M способами то элемент сначала первого множества потом второго множества можно выбрать N*M способами. Легко доказывается по индукции

Правило сложения:

Если элемент первого множества можно выбрать N способами а второго M способами то элемент одного из этих множеств можно выбрать M+N способами

Замечание:

Для применения правила сложения важно что бы множества не имели общих элементов

(2)

X=y^2

Это есть соответствие но не отображение.

1)для отрицательных x мы не найдём y

2)для x есть две точки по y

Замечание: для такого соответствия которые не является функцией иногда вводят промежуточные термины. На пример говорят что это частичная многозначная функции

X=y^2

Типы функций: f – сюръективна, если для любого yϵ B найдётся x

Если f: aà b – отображение

В соответствие с этим это замечание можно сказать следующее: отображение называется сюрьективным если элемент имет при этом отображении прообраз.

Сурьективное отображение иногда называют отображением

Отображение называется инъективным

Отображение будет инъективным если все сели на разные стулья сели разные люди

Отображение не сюрьективно если элементы второго множества не имеют прообразов

Отображение может быть одновременно и не инъективным и не сюрьективным. Это может случится когда не все элементы второго множества имеют прообраз, но при этом некоторые элементы имеют более одного прообраза

Отображение которое и сюрьективно и инъективно биективно (биекция)

Из определения биективного отображения следует что если F биективно Aà B, то можно определить это отображение g Bà A