Простые критерии устойчивости и качества линейных систем

Будем предполагать, что все коэффициенты полинома имеют одинаковый знак (будем считать их положительными), что является простейшим необходимым условием устойчивости, сформулированным Стодолой.

Устойчивость и качество системы управления с характеристическим полиномом (1.2) можно оценить с помощью следующих показателей:

1. Приближенные сопрягающие частоты

(1.3)

2. Показатели (меры) качества

(1.4)

3. Показатели (меры) устойчивости

(1.5)

Значения (1.3) приближенно равны сопрягающим частотам на участках, где определяющими являются действительные корни, соответствующие апериодическим звеньям. Если Ω < 1.7... 2, то значение приближает сопрягающую частоту на участке, где определяющей является пара комплексно-сопряженных корней, соответствующих колебательному звену.

Используя метод математической индукции, В.С. Воронов в 1965 году доказал, что выполнение неравенств

(1.6)

является необходимым условием устойчивости. С использованием показателей устойчивости условие (1.6) запишется в виде

(1.7)

Невыполнение хотя бы одного из неравенств (1.7) является достаточным условием неустойчивости.

Выполнение необходимого условия устойчивости (1.7) еще не означает, что система будет устойчивой. Поэтому В.С. Воронов предложил также ряд достаточных условий устойчивости. Простейшее из них имеет вид

(1.8)

Из (1.5) следует, что условие (1.8) будет всегда выполняться, если показатели качества удовлетворяют ограничениям

(1.9)

Таким образом, (1.9) является достаточным условием устойчивости, сформированным по показателям качества.

На практике обычно требуют, чтобы система обладала некоторым запасом устойчивости и качества, поэтому наряду с условиями (1.8), (1.9) в [1] было предложено условие устойчивости с запасом

(1.10)

и условие устойчивости и качества (качественной устойчивости)

(1.11)

В.С. Воронов показал также, что если все Ω k ≥ 4, то все корни полинома будут вещественными.

Выводы

Существует связь между показателями Ω k, Wk и расположением на комплексной плоскости корней характеристического полинома. Выполнение неравенства Ω k < 1.7, как правило, свидетельствует о наличии пары комплексно сопряженных корней, мнимая часть которых значительно превышает вещественную часть. В этом случае переходный процесс содержит колебательную составляющую, частота которой приближенно равна . Если соответствующая пара корней имеет большую отрицательную действительную часть, что характерно для больших значений k, то эта составляющая быстро затухает и практически не оказывает влияния на переходный процесс.

Качество системы определяется, в первую очередь, первыми двумя или тремя значениями Ω k, поэтому при синтезе следует корректировать именно эти значения.

Определенные преимущества имеет задание равных или примерно равных значений Ω k.