Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение предела функцииСтр 1 из 6Следующая ⇒
Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , такое что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство . При этом пишут или . В символах математического анализа определение может быть записано так: . Выше приведено определение для случая конечных значений и . Оно может быть переделано для случаев, когда или обращаются в бесконечность . При этом соответствующие неравенства должны быть заменены на неравенства типа , если , , если , , если и т.п. Переменная величина называется бесконечно малой величиной при , если . Пусть , где – конечные числа, – любое конечное число или бесконечность. Теоремы о пределах: 1. . 2. . 3. Если . 4. Пусть – конечное число. Тогда: а) б) в) . 5. Пусть , тогда . ● Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции. Предельные переходы, содержащие нуль или бесконечность, при кратко можно записать так: , (1) где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида: , (2) ─ называются неопределенностями, что означает, что нельзя дать ответ, используя правила (1), Например, рассмотрим три функции: при . Отношение любых двух функций из указанных трех приводит к неопределенности . Однако, пределы этих отношений различны, например: , , . Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения: . При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение. Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. В примерах 1─ 3, 6─ 8 можно сразу записать ответ. В остальных примерах первая подстановка приводит к неопределенности, поэтому: сначала проводим преобразование. Так в примере 13 мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение, что позволило затем сократить дробь. Обратите внимание, что выражение , и это позволило вынести множитель за знак предела. Проанализировав решения примеров 9–11, замечаем, что при вычислении пределов типа , приходим к пределу отношения членов со старшими степенями. Окончательный ответ зависит от соотношения степеней. Аналогичная ситуация и для выражений, содержащих дробные степени или радикалы. Например, вычисляя , приходим к неопределенности . Выбрав в числителе и знаменателе слагаемые со старшими степенями . получаем решение: .
|