Множество. Подмножество. Универсальное множество

1.1. Множество – одно из первоначальных, наиболее общих понятий в математике, таких как число, точка, которые принимают без определения.

Множеством называют совокупность каких-либо объектов (предметов, явлений) произвольной природы, которые в данном случае рассматриваются совместно: можно говорить о множестве людей, стран, автомобилей, слов, книг, точек пространства, моментов времени, чисел, функций, геометрических фигур и т.д.

Примерами множества являются: множество всех жителей данного города; множество всех букв русского алфавита; множество всех книг данной библиотеки; множество всех целых положительных чисел; множество всех нечетных чисел между 10 и 100; множество всех точек данной прямой; множество всех прямых в пространстве, проходящих через данную точку, и т.п.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Обозначение а Î А читается так: «элемент а является элементом множества А», или «элемент а принадлежит множеству А»; например, обозначая символом N множество натуральных (т.е. целых положительных) чисел, можно записать соотношение 6 Î N. Если H – множество дней недели, то «вторник» Î Н. Запись b Ï B означает, что объект b не принадлежит множеству B, т.е. не является его элементом: например, 3.14 Ï N, –2 Ï N, Ï N. Утверждение b Ï B означает ложность утверждения b Î B.

Термин «множество» отличается от понятия количества: говоря о множестве, мы имеем в виду прежде всего его состав, т.е. из каких элементов оно состоит; количество элементов является одной из важных его характеристик. По числу элементов множества делятся на конечные и бес-конечные. Число элементов конечного множества А обозначается ½ А ½. Так, если H – множество дней недели, то ½ H ½ = 7. Иногда бывает трудно определить, содержит ли то или иное множество (например, множество корней какого-либо уравнения) хотя бы один элемент. Поэтому полезным является понятие пустого множества, не содержащего ни одного элемента. Оно обозначается символом Æ; его роль подобна роли числа 0 в арифметике.

Задать множество – значит определить, какие элементы в него входят. Один из способов задания конечного множества – прямое перечисление элементов; например:

Ц = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

T = {1, 3, 7, 9, 21, 63};

L = {+, –, *, /};

G = {Англия, Шотландия, Уэльс, Сев. Ирландия};

I = {гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон}.

В применяемых обозначениях фигурные скобки показывают, что перечисленные элементы объединены в одно целое – множество А. Порядок элементов в этой записи – только для удобства рассмотрения. Каждый элемент входит в множество один раз.

1.2. Перечислением задавать множество не всегда удобно, а подчас и невозможно, даже для конечных множеств. Понятно, что нельзя перечислить все элементы бесконечного множества. Более общий способ: задание множества характеристическим свойством его элементов,
т.е. условием, которому удовлетворяют все элементы множества и не удовлетворяют другие объекты. Так, в вышеприведенных примерах множество Ц можно определить как множество арабских цифр; Т – как множество делителей числа 63; L – как множество знаков арифметических действий; G – как множество административных единиц, составляющих Великобританию; I – как множество инертных газов.

Для задания множества A характеристическим свойством применяют обозначение
A = { x: p (x)} (читается: A есть множество элементов х, удовлетворяющих условию p (x); х служит общим обозначением элементов множества как переменная, p (x) – предикат, содержащий эту переменную). Например, A = { x: x ² > 1} означает множество чисел, квадрат которых больше 1. При этом имеется в виду, что свойство p (x) выделяет элементы множества A из некоторого универсального множестваU.

В нашем примере должно быть, например, указано, что A состоит из действительных чисел либо из целых чисел и т.п. Употребляется и такая запись: A = { x Î U: p (x)}, т.е. A есть множество таких элементов х из универсального множества U, которые удовлетворяют условию p (x). Обычно универсальное множество U в каждом случае специально указывается или подразумевается исходя из предмета рассмотрения.

В другом рассмотрении универсальным может быть другое множество. Так, обозначая множество действительных чисел R, а множество целых чисел Z (стандартные в математическом анализе обозначения), можно записать в первом случае A ₁ = { x Î R: x ² > 1}, а во втором случае
A ₂ = { x Î Z: x ² > 1}. Понятно, что A ₁и A ₂– разные множества. В примере I универсальным можно считать множество элементов Периодической системы Д.И. Менделеева.

Примеры. Множество Ч четных целых чисел: Ч = { n Î Z: n = 2 k }; множество R₊ положительных действительных чисел: R₊ = { x Î R: x > 0}. Множество I может быть определено и так: {элементы периодической системы, атомы которых имеют 8 электронов на внешней орбите}.

В геометрии множество точек, обладающих тем или иным свойством, называют геометрическим местом точек. Например:

(а) окружность есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (называемой центром);

(б) перпендикуляр, проведенный через середину отрезка, есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от его концов.

В трехмерном пространстве (т.е. при другом универсальном множестве) множество точек, опре-деляемое тем же свойством, что в примере (а), представляет собой сферу, а множество точек со свойством примера (б) есть плоскость, проведенная через середину отрезка перпендикулярно ему. ■

Если каждый элемент множества A является одновременно элементом множества B, то A называется подмножеством (или частью) множества B; обозначение A Í B.