Общая схема исследования функции и построение ее графика

Дана функция y=f(x).

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью Оу, нужно вычислить f(0). Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох, нужно решить уравнение f(х)=0.

3. Определить функцию на четность или нечетность.

Если выполняется равенство f(-x)=f(x), то функция четная, если

f(-х)= -f'(x), то функция нечетная, если ни одно изравенств не выполняется, то функция ни четная и ни нечетная.

4. Определить функцию на периодичность.

5. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

6. Исследовать функцию на перегиб.

7. Определить уравнение асимптот графика функции.

8. Найти дополнительные точки, если это необходимо.

9. Построить график функции.

Индивидуальное задание № 2. Вычислить определенный интеграл.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Краткая теоретическая справка:

Одной из самых главных формул в интегральном исчислении является формула Ньютона-Лейбница:

Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке надо найти ее первообразную функцию и найти разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Индивидуальное задание № 3.

1. Осуществить операции над множествами А, В U, если A={2, 4, 6, 8}, B={3, 6, 9}, U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

2. Пусть A={1, 2+n}, B={2+n, 3}, C={1, 3}, (n – номер по списку). Найти:

1). ,

2). ,

3). ,

4). ,

5). ,

6). ,

7). .

Краткая теоретическая справка:

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается .

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть пустое множество:

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В и обозначается .

Объединение любого множества А с пустым множеством есть множество А: .

Обозначим универсальное множество буквой U.

Для любого множества А, принадлежащего основному множеству U, справедливы равенства:

Множество элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества U или просто дополнением и обозначается .

Объединение множества А и его дополнения есть универсальное множество: .

Пересечение множества со своим дополнением пусто:

Индивидуальное задание № 4.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

1. 2. 3. 4.

5. 6) 7) 8)

9. 10.

Краткая теоретическая справка: Главным определителем системы называется определитель матрицы А, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Определитель получится из главного определителя заменой в нём первого столбца столбцом свободных членов, определитель - заменой второго столбцом свободных членов и т.д.

Неизвестные находятся из соотношений

Индивидуальное задание № 5.

1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0, 95, второй – 0, 8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
3. Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0, 6; 0, 7; 0, 8. Найти вероятности, что за время t будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.
4. В читальном зале имеется 6 учебников, причём три из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажется в переплёте.
5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
6. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины, по табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
7. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлечённые детали окажутся окрашенными.
8. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны: 0, 1; 0, 15; 0, 2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
9. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0, 3; 0, 4; 0, 6, 0, 7.
10. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трёх выстрелах равна 0, 875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Краткая теоретическая справка:

Вероятностью P(A) события А называют отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трёх совместных событий

P(A+B+С)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью события В называют вероятность события В, найденной в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении что первое событие уже наступило:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность появления события А, которое может наступать лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий образующих полную группу событий, равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Данная формула называется - формулой полной вероятности.

Индивидуальное задание № 6, 7.

Вариант 1.

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

.

Найти:

а) коэффициент A;

б) дифференциальную функцию f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Производится 3 независимых выстрела с вероятностью попадания 0, 6 при каждом выстреле.

Случайная величина Х – число попаданий при трех выстрелах.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 2.

1) Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент A;

б) дифференциальную функцию f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичеcкое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Производится 5 независимых выстрела с вероятностью попадания 0, 2 при каждом выстреле.

Случайная величина Х – число попаданий при пяти выстрелах.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 3.

1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г) P

Построить графики F(x) и f(x).

2. Производится 3 независимых выстрела.

Вероятность попадания при первом, при втором и при третьем выстрелах соответственно равны:

P1=0, 4; P2=0, 5; P3=0, 7.

Случайная величина Х – число попаданий при трех выстрелах.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 4.

1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г) P

Построить графики F(x) и f(x).

2. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий.

Случайная величина Х – число бракованных изделий среди трех рассматриваемых.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 5.

1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:

.

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Производится 2 независимых выстрела с вероятностью попадания в цель P1 = 0, 6; P2 = 0, 5.

Случайная величина Х – число попаданий при двух выстрелах.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 6.

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

.

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Станок - автомат штампует детали.

Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0, 9.

Случайная величина Х – число стандартных деталей среди четырех рассматриваемых.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 7.

1. Непрерывная случайная величина X задана функций распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Вероятность появления события А в одном испытании равна

Случайная величина Х – появление события А при трех испытаниях.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 8.

1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовления деталь окажется бракованной, равна 0, 1.

Случайная величина Х – число появлений бракованных деталей среди трех проверенных.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 9.

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Производится 3 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле.

Случайная величина Х – число попаданий при трех выстрелах.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Вариант 10.

1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения:

Найти:

а) коэффициент a;

б) плотность распределения f(x);

в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

г)

Построить графики F(x) и f(x).

2. Станок - автомат штампует детали. Вероятность того, что наудачу взятая деталь будет годной равна 0, 9.

Случайная величина Х – число нестандартных деталей среди трех наудачу выбранных деталей.

Записать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики:

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Краткая теоретическая справка:

Вам уже известны события, состоящие в появлении того или иного числа.

Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью учесть невозможно.

В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

ü Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает значение, наперед неизвестное, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами Х, У, Z …, а их возможные значения – прописными буквами х, у, z ….

Например, если случайная величина Х принимает три возможных значения, то они будут обозначены

Начнем изучение этой темы с примера:

Среди ста новорожденных число родившихся мальчиков есть случайная величина, которая может принимать следующие возможные значения:

0, 1, 2, …, 100.

Каждое значение может приниматься случайной величиной с определенной вероятностью (одно с большей, другое с меньшей).

Значения 0, 1, 2, …, 100 отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений случайной величины (например, случайная величина не может принять значения 45, 5 или 30, 8 и т.д.).

Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные значения.

ü Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Дискретную случайную величину можно задать одним из ниже перечисленных способом.

Рядом (законом) распределения дискретной случайной величины называют таблицу, у которой

первая строка - возможные значений случайной величины,

а вторая – их вероятности:

х			…
р			…

Причем, сумма всех вероятностей всегда равна единице, так как события

образуют полную группу несовместных событий, т.е.

Если при составлении закона распределения вероятностей Вы получили, что сумма вероятностей не равна единице, то закон распределения составлен не верно.

Однако, если сумма вероятностей равна единице, то это еще не означает, что закон распределения составлен верно.

Функцией распределения называется функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

.

Где

Дисперсия характеризует рассеяние значений случайной величины относительно среднего значения (математического ожидания).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

Среднее квадратическое отклонение так же характеризует рассеяние значений случайной величины относительно среднего значения (математического ожидания).

Список литературы

Основные источники:

1. Григорьев, С. Г. Учебник / С. Г. Григорьев, С. В. Задулина. – М.: Академия, 2005. – 384 с.

Дополнительные источники:

1. Григорьев, В. П. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 4-е изд. – М.: Академия, 2008. – 320 с.

2. Партыка Т.Л. Математические методы: учебник / Т. Л. Партыка, И. И. Попов. – М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2005. - 464 с.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: Учебное пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М.: Оникс, 2007. – 304 с.

4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: Учебное пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М.: Оникс, 2007. – 416 с.

Интернет-источники:

1. https://en.edu.ru - естественно-научный портал

2. https://www.bestlibrary.ru - On–line библиотека

3. https://www.km.ru/literature/ - электронная библиотека LIB.KM.ru