Расчет надежности сложных структур

При расчете надежности сложной системы, состоящей из параллельных и последовательных цепей, составленных, в свою очередь, из параллельно и последовательно включенных элементов, вся система представляется в виде блоков. Для каждого блока составляются расчетные уравнения безотказной работы, из которых образуется общее уравнение безотказной работы системы.

Например, в структурной схеме системы (рис.) можно выделить три блока с однотипным соединением элементов (I, II, III).

Рис. 3. Структурная схема для расчета надежности

В первом блоке элементы соединены последовательно, второй составлен из параллельных цепочек, образованных последовательно включенными элементами, и третий блок – последовательно включенные звенья, каждое из которых состоит из параллельно соединенных элементов.

Вероятность безотказной работы первого участка, состоящего из n элементов,

,

где Р_j – вероятность безотказной работы j–го элемента участка.

Вероятность безотказной работы каждой из цепочек второго блока определяется по уравнению безотказной работы при последовательном соединении элементов, а всего участка – по уравнению

,

где К – число параллельно включенных цепочек;

N – число элементов в отдельно взятой цепочке.

Вероятность безотказной работы третьего участка, где применено поэлементное резервирование, определяется по формуле:

,

где т – число последовательно соединенных звеньев;

r – число параллельно соединенных элементов в звене.

Вероятность безотказной работы системы в целом будет

P_c(t) = P_IP_IIP_III.

В ряде случаев задача определения надежности сложной системы требует применения формулы полной вероятности. В частности это имеет место при рассмотрении задач о системах мостовой схемы.

1 2

3 4

Рис. 4. Мостовая схема

Система состоит из двух параллельных ветвей: одна с последовательными независимыми звеньями 1, 2, другая – 3 и 4 и соединяющего элемента 5, работает любая из ветвей или диагонали 1-5-4 или 3-5-2.

Безотказная работа системы (событие А) подразделяется на несовместимые события: работу системы при работоспособном элементе 5 (событие ) и работу системы при отказе элемента 5 (событие А₅А); иначе говоря,

А = А₅А + ;

где А₅, - отсутствие и наличие отказа элемента 5.

Согласно теореме о вероятности суммы несовместимых событий и теореме о вероятности произведения событий получим

Р(А) = Р() + Р(А₅А) = Р(А₅)Р(А/А₅)+Р Р(А/ ),

Где Р(А/А₅) и Р(А/ ) – условные вероятности безотказной работы системы при отсутствии и наличии отказа элемента 5.

Событие А при условии А₅ равносильно безотказности системы из двух последовательных подсистем с двумя параллельными элементами каждая, для которой имеем

Р(А/А₅)=(1 – (1 – Р₁)(1 – Р₂))(1 – (1 – Р₃)(1 – Р₄)),

Где Р₁ Р₂ Р₃ Р₄ – вероятности безотказной работы элементов 1, 2, 3, 4.

Событие А при условии () равносильно безотказности системы из двух параллельных ветвей без элемента 5, для которой имеем

Р() = 1 – (1 – Р₁Р₂)(1 – Р₃Р₄).