Уравнение неразрывности.

Движение жидкости, при котором внутри потока не образуется пустот, т.е. нет разрывов струй, называется сплошным, или неразрывным. Найдем аналитическое выражение условия неразрывности течения жидкости, полагая плотность непостоянной. Секундная масса жидкости через единицу площади . ,

Пусть гранями бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 29) ограничивается некоторое неподвижное относительно координатных осей пространство, через которое протекает жидкость.

За время сек через грань АВCD внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости , а вытекает через грань А'В'C'D' масса . Плотность и скорость на входе (в плоскости грани ABCD) в общем случае сжимаемой жидкости не равны плотности и скорости на выходе (в плоскости грани А'В'C'D'). При этом изменение и обуславливается только тем, что при переходе от одной грани к другой для сходственных точек этих граней меняется лишь координата х независимо от времени, так как втекание происходит одновременно. Поэтому:

; ;

После преобразований получим

Если за время масса жидкости внутри параллелепипеда увеличилась за счет притока на величину , а уменьшилась за счет вытекания на величину , то изменение массы в этом движении вдоль координатной оси ОХ равняется:

.

Аналогично найдем, что изменение массы в итоге движения вдоль осей ОY и OZ равняется:

;

Общее изменение массы за время сек равно:

С другой стороны, изменение массы жидкости в объеме (dx, dy, dz) параллелепипеда можно рассматривать как изменение массы в зависимо от времени. В виду постоянства координат х, у, z (так как параллелепипед неподвижен), изменение массы в нем обусловлено изменением плотности во времени, так как в этом случае . В начальный момент времени масса внутри параллелепипеда равна . По прошествии промежутка времени dt сек, средняя для объема параллелепипеда плотность изменится и будет равна

.

В конечный момент временя масса жидкости в объеме параллелепипеда равняется

.

Таким образом, изменение массы за время dt будет равно

.

Выражения и в условиях сплошности течения представляют одно и то же изменение массы в объеме параллелепипед, поэтому или

.

Сократив это уравнение на величину объема параллелепипеда (dx, dy, dz) (это сокращение указывает на независимость результата от объема), получим

. (1)

Это и есть уравнение неразрывности. Оно одинаково справедливо как для капельной несжимаемой (), так и газообразной сжимаемой () жидкости. В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, . Поэтому уравнение неразрывности в этой случае имеет вид

.

Для несжимаемой жидкости (), как при установившемся, так и при неустановившемся движении, уравнение неразрывности имеет вид

.

Уравнение неразрывности в общем случае для установившегося двухмерного (плоского) движения и одномерного движения соответственно

, . (2)

Для частного случая одномерного установившегося движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (2) можно получить формулу расхода жидкости для элементарной струйки.

А именно: , или , т.е. .

Умножив на постоянную величину df, где df − площадь поперечного сечения элементарной струйки, получим , или , т.е. .

Дифференциальное уравнение (1) неразрывности течения можно представить и в другом виде, учитывая что:

− справедливо и для других осей координат, запишем:

.

Записав проекции скорости как

; , , получим:

, , поэтому

.