Интерполирование, интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

1. Общая постановка задачи об интерполировании. Параболическое интерполирование.

При решении многих задач используются функции, заданные таблицей. Например, если опытным путем найдем ряд значений некоторой функции, то для вычисления тех значений, которые не содержатся в таблице, можно подобрать другую, более простую функцию, в некотором смысле близкую данной.

Существуют разные способы получения таких функций. Один из них – интерполирование.

В общем виде задача интерполирования формулируется так:

Пусть n+1 в точках

х₀, х₁, х₂, …, х_n

заданы значения функции

y = f(х): f(х₀) = y₀, f(х₁) = y₁,..., f(х_n) = y_n.

Требуется подобрать достаточно простую функцию φ (х), удовлетворяющую следующим условиям:

а) в точках х₀, х₁, х₂, …, х_n значения функции должны совпадать со значениями данной функции f(х):

φ (х_k) = f(x_k) = y_k (k = 0, 1, 2, …, n); (1)

б) при остальных значениях х из области определения должно выполняться приближенное равенство

f(x)» φ (х) (2)

Функция φ (х) называется интерполирующей,

процесс ее построения – интерполированием,

а точки х₀, х₁, х₂, …, х_n, в которых значения интерполирующей функции должны совпадать с заданными значениями данной функции, - узлами интерполирования.

Точка х, в которой вычисляется значение функции f(x) с помощью функции φ (х), называется точкой интерполяции.

Если xÎ [x₀; x_n], то процесс нахождения называется интерполяцией, иначе – экстраполяцией.

Параболическое интерполирование. Интерполирующая функция обычно подбирается из определенного класса функций. Часто в качестве такой функции берется многочлен F_n(x), который называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование при помощи многочлена называется параболическим интерполированием, геометрический смысл которого состоит в том, что график данной функции f(x) заменяется параболой-графиком многочлена F_n(x); при этом графики имеют n+1 общую точку.

Итак, задача параболического интерполирования формулируется следующим образом:

Пусть значения функции f(х) заданы в п + 1 узле интерполирования

х₀, х₁, х₂, …, х_n, причем

f(х₀) = y₀, f(х₁) = y₁,..., f(х_n) = y_n.

В качестве интерполирующей функции выберем многочлен

F_п(х) = с₀ xⁿ+ с₁х^n-1 +... + с_n-1х +c_n (3)

и потребуем, чтобы в узлах интерполирования значения интерполяционного многочлена совпадали со значениями данной функции:

F_n(х_k)= y_k (k=0, 1, 2, …, n). (4)

Для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена на основании условия (4) составим систему уравнений:

Система (5) состоит из n + 1 уравнения; переменными считаются числа c₀, c₁, …, c_n.

Составим определитель системы (5):

Этот определитель известен из курса высшей алгебры как определитель Вандермонда.

Поскольку узлы интерполирования х₀, х₁, х₂, …, х_n различны, то D ¹ 0, следовательно, линейная система (5) имеет единственное решение, что означает существование и единственность интерполяционного многочлена F_n(х).

Следует заметить, что при решении различных задач используются различные записи интерполяционного многочлена.