Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Классификация цифровых устройств






По способу ввода и вывода

последовательные устройства (последовательно разряд за разрядом);

параллельные (информация снимается одновременно по всем разрядам);

последовательно-паралельные устройства.

По принципу действия

Комбинационные устройства (автоматы без памяти). В них состояние выходных сигналов однозначно определяется только действующей в настоящий момент времени комбинацией входных сигналов и не зависит от значений переменных, действовавших на входах ранее.

К таким устройствам относятся кодеры, декодеры, мультиплексоры, демультиплексоры, сумматоры, компараторы.

Последовательные или автоматы с памятью. Выходные сигналы определяются не только действующей в настоящий момент времени комбинацией входных сигналов, но и предыдущим состоянием устройства, зависимым от входных переменных, действовавших на входах ранее.

К ним относятся триггеры и все устройства, построенные на триггерах: регистры, счетчики, ОЗУ, ПЗУ.

 

Для начала дадим несколько базовых определений.

Сигнал - это любая физическая величина (например, температура, давление воздуха, интенсивность света, сила тока и т.д.), изменяющаяся со временем. Именно благодаря этому изменению сигнал может нести в себе какую-то информацию.

Электрический сигнал - это электрическая величина (например, напряжение, ток, мощность), изменяющаяся со временем. Вся электроника в основном работает с электрическими сигналами, хотя сейчас все больше используются световые сигналы, которые представляют собой изменяющуюся во времени интенсивность света.

Аналоговый сигнал - это сигнал, который может принимать любые значения в определенных пределах (например, напряжение может плавно изменяться в пределах от нуля до десяти вольт). Устройства, работающие только с аналоговыми сигналами, называются аналоговыми устройствами. Название " аналоговый" подразумевает, что сигнал изменяется аналогично физической величине, то есть непрерывно.

Цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать только два (иногда - три) значения, причем разрешены некоторые отклонения от этих значений (рис. 1.1). Например, напряжение может принимать два значения: от 0 до 0, 5 В (уровень нуля) или от 2, 5 до 5 В (уровень единицы). Устройства, работающие исключительно с цифровыми сигналами, называются цифровыми устройствами.


Рис. 1.1. Электрические сигналы: аналоговый (слева) и цифровой (справа)

Можно сказать, что в природе практически все сигналы - аналоговые, то есть они изменяются непрерывно в каких-то пределах. Именно поэтому первые электронные устройства были аналоговыми. Они преобразовывали физические величины в пропорциональные им напряжение или ток, производили над ними какие-то операции и затем выполняли обратные преобразования в физические величины. Например, голос человека (колебания воздуха) с помощью микрофона преобразуется в электрические колебания, затем эти электрические сигналы усиливаются электронным усилителем и с помощью акустической системы снова преобразуются в колебания воздуха - в более сильный звук.

Однако аналоговые сигналы и работающая с ними аналоговая электроника имеют большие недостатки, связанные именно с природой аналоговых сигналов. Дело в том, что аналоговые сигналы чувствительны к действию всевозможных паразитных сигналов - шумов, наводок, помех. Шум - это внутренние хаотические слабые сигналы любого электронного устройства (микрофона, транзистора, резистора и т.д.). Наводки и помехи - это сигналы, приходящие на электронную систему извне и искажающие полезный сигнал (например, электромагнитные излучения от радиопередатчиков или от трансформаторов)

Все операции, производимые электронными устройствами над сигналами, можно условно разделить на три большие группы:

· обработка (или преобразование);

· передача;

· хранение.

Во всех этих трех случаях полезные сигналы искажаются паразитными - шумами, помехами, наводками. Кроме того, при обработке сигналов (например, при усилении, фильтрации) еще и искажается их форма - из-за несовершенства, неидеальности электронных устройств. А при передаче на большие расстояния и при хранении сигналы к тому же ослабляются.

В случае аналоговых сигналов все это существенно ухудшает полезный сигнал, так как все его значения разрешены (рис. 1.2). Поэтому каждое преобразование, каждое промежуточное хранение, каждая передача по кабелю или эфиру ухудшает аналоговый сигнал, иногда вплоть до его полного уничтожения. Надо еще учесть, что все шумы, помехи и наводки принципиально не поддаются точному расчету, поэтому точно описать поведение любых аналоговых устройств абсолютно невозможно. К тому же со временем параметры всех аналоговых устройств изменяются из-за старения элементов, поэтому характеристики этих устройств не остаются постоянными.


Рис. 1.2. Искажение шумами и наводками аналогового (слева) и цифрового (справа) сигналов

В отличие от аналоговых, цифровые сигналы, имеющие всего два разрешенных значения, защищены от действия шумов, наводок и помех гораздо лучше. Небольшие отклонения от разрешенных значений никак не искажают цифровой сигнал, так как всегда существуют зоны допустимых отклонений (рис. 1.2). Именно поэтому цифровые сигналы допускают гораздо более сложную и многоступенчатую обработку, гораздо более длительное хранение без потерь и гораздо более качественную передачу, чем аналоговые. К тому же поведение цифровых устройств всегда можно абсолютно точно рассчитать и предсказать. Цифровые устройства гораздо меньше подвержены старению, так как небольшое изменение их параметров никак не отражается на их функционировании. Кроме того, цифровые устройства проще проектировать и отлаживать. Понятно, что все эти преимущества обеспечивают бурное развитие цифровой электроники.

Однако у цифровых сигналов есть и крупный недостаток. Дело в том, что на каждом из своих разрешенных уровней цифровой сигнал должен оставаться хотя бы в течение какого-то минимального временного интервала, иначе его невозможно будет распознать. А аналоговый сигнал может принимать любое свое значение бесконечно малое время. Можно сказать и иначе: аналоговый сигнал определен в непрерывном времени (то есть в любой момент времени), а цифровой - в дискретном (то есть только в выделенные моменты времени). Поэтому максимально достижимое быстродействие аналоговых устройств всегда принципиально больше, чем цифровых. Аналоговые устройства могут работать с более быстро меняющимися сигналами, чем цифровые. Скорость обработки и передачи информации аналоговым устройством всегда может быть выше, чем скорость обработки и передачи цифровым устройством.

Кроме того, цифровой сигнал передает информацию только двумя уровнями и изменением одного своего уровня на другой, а аналоговый - еще и каждым текущим значением своего уровня, то есть он более емкий с точки зрения передачи информации. Поэтому для передачи того объема информации, который содержится в одном аналоговом сигнале, чаще всего приходится использовать несколько цифровых (чаще всего от 4 до 16).

К тому же, как уже отмечалось, в природе все сигналы - аналоговые, то есть для преобразования их в цифровые и обратного преобразования требуется применение специальной аппаратуры (аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей). Так что ничто не дается даром, и плата за преимущества цифровых устройств может порой оказаться неприемлемо большой.

 

 

Тема 1.2 Системы счисления(4)

Системы счисления информации – двоичная, шестнадцатиричная, двоично-десятичная.

Упрощенные правила перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Правила двоичной арифметики. Дополнительный код числа.

 

Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.

Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.

Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

 

В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.

Название системы Основание Используемые цифры
Десятичная   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная   0, 1
Восьмеричная   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:

Основание  
«10»                                  
«2»                                
«8»                                  
«16»                     A B C D E F  

Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.

 

Развернутая форма записи чисел

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = ±(an-1qn-1+an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m) – развернутая форма числа.

Здесь:

А – само число,

q – основание системы счисления,

ai – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.),

n – число разрядов целой части числа,

m - число разрядов дробной части числа.

 

Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124, 23

5124, 2310 = 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100 + 2*10-1 + 3*10-2

 

Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327, 14

327, 148 = 3*82 + 2*81 + 7*80 + 1*8-1 + 4*8-2

 

Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D, 2E

3D, 2E 16 = 3*161 + D*160 + 2*16-1 + E*16-2 = 3*161 + 13*160 + 2*16-1 + 14*16-2

 

Свернутой формой записи чисел называется запись в виде

A = an-1an-2…a1a0, a-1a-2…a-m. именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.

 

Перевод из десятичной системы в другие системы счисления

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.

 

 

Пример 4. 17510 à x2

 

 

Таким образом, 17510 à 101011112

 

Пример 5. 17510 à х8

Таким образом, 17510 à 2578

 

Пример 6. 17510 à х16

 

 

Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 à AF16

 

Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.

1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

 

Пример 7 0, 62510à x2

0, *2
  *2
  *2
  *2
   

Получаем: 0, 62510à 0, 00012

 

Пример 8. 0, 6562510à x8

0, *8
  *8
   

Получаем: 0, 6562510à 0, 528

 

Пример 9. 0, 6562510à x16

0, *16
(А) *16
   

Получаем: 0, 6562510à 0, А816

 

Пример 10. 0, 910à x2

0, *2
  *2
  *2
  *2
  *2
  *2
   

…..

Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.

Получаем: 0, 910à 0, 1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.

 

Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

 

Пример 11. 2145, 8610à х16. Дробную часть вычислять до пятого знака.

1) 214510à х16

 

 

214510à 86116

 

2) 0, 8610à х16

0, *16
(D) *16
(C) *16
  *16
   
(F)  

Получаем: 0, 8610à 0, DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой.

 

 

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

 

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

1. Представить число в развернутой записи. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.

2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Пример 12. 1101, 012 ® х10

1. Запишем число 1101, 012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2.

2. Найдем сумму ряда: 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 = 8 + 4 + 1 + 0, 5 + 0, 25 = 13, 7510.

 

Пример 13. 0, 718 ® х10

1. Запишем число 0, 718 в развернутой форме: 7*8-1 + 1*8-2.

2. Найдем сумму ряда: 7*0, 125 + 0, 0625 = 0, 937510.

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием
q = 2n.

Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n.

1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n.

 

Пример 14. 1101110, 00012 ® х8

 

 

1101110, 00012 ® 156, 048

 

 

Пример 14. 1101110, 00012 ® х16

 

1101110, 00012 ® 6Е, 116

 

 

Перевод чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.

 

Алгоритм перевода чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.

1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n, заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

 

Пример 15. 315, 028 ® х2

 

315, 028 ® 11001101, 000012

 

 

Пример 16. 12С16 ® х2

 

12С16 ® 1001011002

 

Двоичная арифметика

 

Таблица сложения двоичных чисел

+    
     
     

 

1 означает перенос в следующий разряд

 

Таблица вычитания двоичных чисел

-    
     
     

1 означает заем из старшего разряда

Таблица умножения двоичных чисел

*    
     
     

 

Пример 17.

 

1101, 01 + 111, 10 10100, 11   1001, 10 -- 100, 01 101, 01   * 101 ------ -------------
Обратите внимание на то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд    

 

 

Примеры из заданий ЕГЭ

 

1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)

Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A< C< B?

1) 10011010  
2) 10011110  
3) 10011111  
4) 11011110  

Решение.

Переведем все данные нам числа в десятичную систему счисления. Проще будет сравнивать числа.

A= 9D16 = 9*161 + D*160 = 144 + 13*1 = 15710.

В = 2378 = 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910.

Значит, чтобы выполнялось условие A< C< B, С должно быть равно 15810. Сразу исключаем ответ под номером 3, так как это нечетное число.

Далее переведем 15810 в двоичную систему счисления. 15810 = 100111102. Правильный ответ 2.

 

2. Задание А4 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)

 

Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112 , Y=1358

 

Результат представьте в двоичном виде.

1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002   Решение. Переведем число Y= 1358 в двоичную систему счисления.                

Y= 1358 = 10111012. Выполним сложение двоичных чисел.

 

1 1 0 1 1 1

+ 1 0 1 1 1 0 1

-------------------

1 0 0 1 0 1 0 0 Правильный ответ 4.

 

 

3. Задание B3 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)

 

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

 

Решение.

Допустим, что основание системы равно х, тогда составим развернутую форму записи числа:

100х = 1*x2 + 0* x1 + 0*x0 = x2.

По условию задачи х2 = 4910. Найдем х:

х2 = 49 Þ х = 7.

 

Можно выполнить проверку. Переведем число 4910 в 7-ричную систему счисления:

 

Ответ: 7.

 

 

4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.

Решение.

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления 17-2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5, 15.

Выполним проверку, записав число 17 в системах счисления с основанием 3, 5, 15:

1710 = 1223 = 325 = 1215.

Ответ: 3, 5, 15.

 

3. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

В саду 100q фруктовых деревьев. Из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

Решение.

По условию 33q + 22q + 16q + 5q + = 100q.

Воспользуемся развернутой формой записи чисел:

(3*q1 + 3*q0) + (2*q1 + 2*q0) + (1*q1 + 6*q0) + 5*q0 = 1*q2 + 0*q1 + 0*q0;

3q + 3 + 2q + 2 + q + 6 + 5 = q2;

q2 – 6q – 16 = 0 Þ q = 8. Проверку выполните самостоятельно.

Ответ: 8.

 

4. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

(Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 41, запись которых в системе счисления с основанием 3, оканчивается на 12.

Решение.

В интервале от 4 до 41 выберем те числа, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это 5, 8, 11, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41.

Далее из полученных чисел выберем, у которых частное от их деления 3, при делении на 3 еще раз, дает остаток 1.

1) 41: 3 = 13 (ост. 2)

13: 3 = 4 (ост. 1) Þ 41 – искомое число.

 

2) 38: 3 = 12 (ост. 2)

12: 3 = 4 (ост. 0) – при переводе числа 38 в 3-ричную систему счисления получим число, оканчивающееся на 10, а не на 12 как нам требуется по условию задания. Не забудьте в ответе выписать полученные числа в порядке возрастания!

Ответ: 5, 14, 23, 32, 41.

 

5. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + … + 1 700 000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение.

Решим задание «в лоб». Найдем сумму восьмеричных чисел 17 + 170+1 700+17 000 + 170 000 + 1 700 000.

 

2 111 1078 ® х10 ® y16

 

2 111 1078 ® 561 73510 ® 89 24716.

Ответ: 2.

Задания для самостоятельного решения.

1. Найдите наименьшее из чисел А, В, С и D, записанных в различных системах счисления, если А = 10244, В = 4716, С = 7310, D = 10010102.

1) А 2) В 3) С 4) D

Ответ: 2.

 

2. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 1648, В = А316, С = 22004?

1) A < B < C 2) A < C < B 3) B < A < C 4) C < B < A

Ответ: 2.

3. Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы чисел а = 1058 и
b = С616?

1) 3 2) 4 3) 2 4) 5.

Ответ: 4.

 

4. Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел а = 3А16 и
b = 738?

1) 3 2) 5 3) 4 4) 6.

Ответ: 2.

 

3. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается как 110. Укажите это основание.

Ответ: 3.

 

4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 15 оканчивается на 3.

Подсказка. Основание системы должно быть больше 3.

Ответ: 4, 6, 12.

 

5. В системе счисления с некоторым основанием q число 5810 записывается как 134q. Укажите это основание.

Ответ: 6.

 

 

Тема 1.3 Решение примеров по системам счисления(2)

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Решение примеров по правилам двоичной арифметики.

 

•1. 100101012, 1010111012, 1111011102 - 14910, 34910, 49410, (99 4)

•2. 1101012, 1010012, 111100002 - 5310, 4110, 21010, (3 10)

•3. 101011112, 10100012, 111100002 - 17510, 8110, 21010, (1 8 2)

•4. 111112, 10000012, 101010102 - 3110, 6510, 17010, (3 6 1)

•5. 1012, 1010112, 110011012 - 510, 4310, 20510, (5 42)

•6. 100011002, 100111012, 110012, - 14010, 15710, 2510, (11 2)

•7. 11011012, 1112, 101012 - 10910, 710, 2110, (1 7 2)

•8. 10000000102, 112, 10011012 - 102410, 310, 7710, (1 3 7)

•9. 1010112, 101112, 10112, - 4310, 2310, 1110, (42 1)

•10. 10012, 1101102, 10101012 - 910, 5410, 8510, (9 58)

 

Перевод числа из одной системы счисления в другую

Пример 1.1.

Переведите число 101012 в десятичную систему счисления.

Решение

101012=1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 16 + 4 + 1 = 2110.

Ответ: 101012 = 2110.

Пример 1.2.

Переведите число 123124 в десятичную систему счисления.

Решение

123124=1 · 4

+ 2 · 4

+ 3 · 4

+ 1 · 4

+ 2 · 4

= 256 + 128 + 48 + 4 + 2 = 43810.

Ответ: 1231242 = 43810.

Пример 1.3.

Переведите число 23910 в пятиричную систему счисления.

Решение

Последовательно делим исходное десятичное число и получаемые частные

на основание системы (в данном задании – 5) нацело до тех пор, пока не

получится частное, равное нулю. Полученные остатки от целочисленного

деления записываем в обратной последовательности.

Ответ: (239)10 = (1424)5

239 5

235 47 5

4 45 9 5

2 5 1 5

4 0 0

(239)10 =(1424)5

 

 

Пример 1.4.

Переведите число 1910 в двоичную систему счисления.

Решение

Последовательно делим исходное десятичное число и получаемые частные

на основание системы (в данном задании – 2) нацело до тех пор, пока не

получится частное, равное нулю. Полученные остатки от целочисленного

деления записываем в обратной последовательности.

Ответ: (19)10 = (10011)2

19 2

18 9 2

1 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1 2

0 0 0

(19)10 = (10011)2

Пример1.5.

Переведите число 1101010102 в восьмеричную систему счисления.

Решение

1101010102 = 110 101 010 = 6528.

Ответ: 1101010102 = 6528.

 

 

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Пример 1.6.

Найдите сумму 11101012 и 10110112. Ответ представьте в восьмеричной

системе.

Решение

Найдем сумму 11101012 + 10110112:

......

+ 1011011

11101012 + 10110112 = 110100002

Получившееся число переведем в восьмеричную систему счисления

(разделим на триады):

11 010 0002 = 3208.

Ответ: 320.

Пример 1.7.

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:

114 + 118 + 1116 =? 10

Решение

Переведем все числа в десятичную запись и сложим результаты:

114 + 118 + 1116 = (1 · 4

1 + 1 · 4

) + (1 · 8

1 + 1 · 8

) + (1 · 161 + 1 · 160

) =

5 + 9 + 17 = 3110.

Ответ: 31.

 

Задачи на определение оснований систем счисления

Пример 1.8.

В системе счисления с некоторым основанием число 65 записано как 1001.

Укажите это основание.

Решение

Обозначим искомое основание через n. Исходя из правила записи чисел в

позиционных системах счислениях, 1001n = n

3 + 0 + 0 + n

. Тогда n

3 + 1 = 65, а

n = 4.

Ответ: 4.

Пример 1.9.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем

счисления, в которых запись числа 18 оканчивается на 3.

Решение

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления

числа на основание системы счисления. Поскольку 18 - 3 = 15, то искомые

основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15. Но

основание 3 нам не подходит, так как в троичной системе счисления не

может использоваться цифра 3, а по условию именно на нее заканчивается

число.

Ответ: 5, 15.

Непозиционные системы счисления

Методы решения задач с римскими цифрами, которые так же относятся

непозиционной системе счисления, как правило не вызывают затруднений.

Особенностью их решения является внимательность и знание основных

цифр.

Для решения задач с римскими числами необходимо знать, что запись

чисел в этой системе счисления осуществляется по следующим правилам:

1) если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра

вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 – 1 = 4, XL: 10 < 50,

следовательно, 50 – 10 = 40);

2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эта цифры

складываются (VI: 5 + 1 = 6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX: 10 + 10 = 20);

 

Пример:

1964 =MCMLXIV

М – 1000, СМ – 900, LX – 60, IV – 4, здесь «девятьсот» получается

посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» —

посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» — посредством

вычитания из «пяти» «единицы».

Пример 1.10.

Переведите число MCMXCVI в десятичную систему счисления.

Решение

MCMXCVI = M + (M - C) + (C - X) + V + I =

1000 + 900 + 90 + 5 + 1 = 1996.

Ответ: 1996.

Пример 1.11.

Переведите число 462 в римскую систему счисления.

Решение

462 = 400 + 60 + 2 = (D - C) + (L + X) + (I + I) = CDLXII.

Ответ: CDLXII.

 

 

Тема 1.4 Основные логические элементы (2)

 

Представление логических функций в базисах И, ИЛИ, НЕ; И-НЕ; ИЛИ-НЕ.

Графическое изображение, таблицы истинности, уравнения выходных сигналов.

Составление уравнений выходных сигналов по таблице истинности

Практические работы Составление уравнений выходных сигналов по таблице истинности(2)

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем - таких схем, которые могут находиться только в одном из двух возможных состояний - либо " логический ноль", либо " логическая единица". За логический 0 и логическую 1 можно принять любое выражение, в том числе и словесное, которое можно характеризовать как " истина " и " ложь ". В вычислительной технике логические 0 и 1 - это состояние электрических схем с определенными параметрами. Так, для логических элементов и схем, выполненных по технологии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ-схемы), логический 0 - это напряжение в диапазоне 0 … + 0, 4 В, а логическая 1 - это напряжение в диапазоне + 2, 4 … + 5 В [1]. Работа логических схем описывается посредством специального математического аппарата, который называется логической (булевой) алгеброй или алгеброй логики. Булева алгебра была разработана Джорджем Булем (1815 - 1864 гг.), она является основой всех методов упрощения булевых выражений.

Логические переменные и логические функции - это такие переменные и функции, которые могут принимать только два значения - либо логический 0, либо логическая 1.

Основные логические функции и элементы

Логический элемент - графическое представление элементарной логической функции.

Логическое умножение (конъюнкция) - функция И

Рассмотрим ключевую схему представленную на рис. 1.1, а. Примем за логический 0 [2]:

на входе схемы разомкнутое состояние соответствующего ключа, например, ;

на выходе схемы () - такое ее состояние, когда через сопротивление R ток не протекает.

Таблица истинности - это таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.


Рис. 1.1.Трёх-входовой логический элемент И

Таблица истинности для логической схемы, представленной на рис. 1.1, б, состоит из 8 строк, поскольку данная схема имеет три входа - , и . Каждая из этих логических переменных может находиться либо в состоянии логического 0, либо логической 1. Соответственно количество сочетаний этих переменных равно . Очевидно, что через сопротивление R ток протекает только тогда, когда замкнуты все три ключа - и , и , и . Отсюда еще одно название логического умножения - логический элемент И. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.1, в.

Правило логического умножения: если на вход логического элемента И подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логический 0.

Уровень логического 0 является решающим для логического умножения.

В логических выражениях применяется несколько вариантов обозначения логического умножения. Так, для приведенного на рис. 1.1, в трёх-входового элемента И, логическое выражение можно представить в виде:

либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;

либо ;

либо - с использованием знака конъюнкции;

либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что между переменными , и производится логическое умножение.

Логическое сложение (дизъюнкция) - функция ИЛИ

Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.2, а. Таблица истинности для данной логической схемы (рис. 1.2, б) состоит из 4 строк, поскольку данная схема имеет два входа - и . Количество сочетаний этих переменных равно . Очевидно, что через сопротивление R ток протекает тогда, когда замкнуты или , или . Отсюда еще одно название логического сложения - логическое ИЛИ. В логических схемах соответствующий логический элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.2, в.


Рис. 1.2.Логический элемент ИЛИ на два входа

Правило логического сложения: если на вход логического элемента ИЛИ подается хотя бы одна логическая , то на его выходе будет логическая 1.

Для логического сложения решающим является уровень логической 1.

В логических выражениях применяется два варианта обозначения логического сложения. Так, для приведенного двух-входового элемента ИЛИ, логическое выражение можно представить в виде:

либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;

либо - с использованием знака дизъюнкции.

Логическое отрицание (инверсия) - функция НЕ

Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.3, а. Таблица истинности для данной схемы (рис. 1.3, б) самая простая и состоит всего из 2 строк, поскольку она (единственная из всех логических элементов) имеет только один вход - . Количество вариантов для единственной логической переменной равно . Очевидно, что через сопротивление R ток протекает () тогда, когда не замкнут, т.е. . Еще одно название этой логической функции - отрицание, а соответствующий логический элемент называется инвертором. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.3, в. Поскольку он имеет только один вход, в его обозначении допустимым является и знак логического сложения, и знак логического умножения.


Рис. 1.3.Логический элемент НЕ

Правило инверсии: проходя через инвертор, сигнал меняет свое значение на противоположное.

В логических выражениях применяется единственный вариант обозначения инверсии:

К основным логическим элементам относятся еще два элемента, которые являются комбинацией элементов И, ИЛИ и НЕ: элемент И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Логическая функция и элемент И-НЕ

Данная функция производит логическое умножение значений входных сигналов, а затем инвертирует результат этого умножения. Влогических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано нарис. 1.4, а. Таблица истинности приведена на рис. 1.4, б.


Рис. 1.4.Логический элемент И-НЕ на три входа

Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.

В логических выражениях применяются обозначения:

либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;

либо ;

либо ;

либо .

Логическая функция и элемент ИЛИ-НЕ

В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано нарис. 1.5, а. Таблица истинности приведена на рис. 1.5, б.

Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0. В логических выражениях применяются обозначения:

либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;

либо .


Рис. 1.5.Логический элемент ИЛИ-НЕ на два входа

 

Тема 1.5 Законы алгебры логики(2)

Законы алгебры логики

ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, минтермы.

Для логических величин обычно используются три операции:

1. Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧.

2. Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

3. Логическое отрицание (НЕ) – not,.

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:

  1. Законы рефлексивности
    a ∨ a = a
    a ∧ a = a
  2. Законы коммутативности
    a ∨ b = b ∨ a
    a ∧ b = b ∧ a
  3. Законы ассоциативности
    (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
    (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
  4. Законы дистрибутивности
    a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
    a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
  5. Закон отрицания отрицания
    (a) = a
  6. Законы де Моргана
    (a ∧ b) = a ∨ b
    (a ∨ b) = a ∧ b
  7. Законы поглощения
    a ∨ (a ∧ b) = a
    a ∧ (a ∨ b) = a

 

Любая логическая схема без памяти полностью описывается таблицей истинности. Эта таблица является исходной информацией для синтеза схемы на основе логических элементов «И», «ИЛИ», «НЕ». Для разработки требуемого цифрового устройства сначала на основе таблицы истинности записывают его логическое выражение. Затем с целью упрощения цифрового устройства минимизируют его логическое выражение и далее разрабатывают схему, реализующую полученное логическое выражение. Логические выражения можно получить двумя способами:

- на основе совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ);

- на основе совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

Функция представляется суммой групп. Каждая группа состоит из произведения, в которую входят все переменные.

Например:

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Функция представляется произведением групп. Каждая группа состоит из суммы, в которую входят все переменные.

Например:

Если схема имеет несколько выходов, то каждый выход описывается своей функцией. Такая система функций называется системой собственных функций. СДНФ составляется на основе таблицы истинности по следующему правилу: для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, в котором с отрицанием берутся переменные, имеющие значение «0».

Пример:

Таблица 1.1 – Заданная таблица истинности

x1 x2 x3 y
       
       
       
       
       
       
       
       

СДНФ:

СКНФ составляется на основе таблицы истинности по правилу: для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, в которой с отрицанием берутся переменные, имеющие значение 1.

Таблица 1.2 – Заданная таблица истинности

x1 x2 x3 y
       
       
       
       
       
       
       
       

 

СКНФ:

На основе полученных выражений можно составить схему устройства, реализующего заданную функцию. Схема устройства, полученная на основе СДНФ, изображена (рис.1), а на основе СКНФ (рис.2).

Рис.1 – схема устройства, полученная на основе СДНФ

Рис. 2 – схема устройства, полученная на основе СКНФ

С целью упрощения цифрового устройства применяют минимизацию функций. Используя законы алгебры логики можно упростить исходную функцию.

На основе полученного выражения составим новую схему устройства (рис.3).

Рис. 3 – Схема устройства, полученная после минимизации логической функции

 

Тема 1.6 Построение комбинационных схем (4)

Основные приемы построения комбинационных схем.

Правила оформления схем по ЕСКД.

Перечень элементов

Практические работы Построение комбинационных схем на элементах двоичной логики(2)


Сводная таблица логических функций двух аргументов выглядит так:

Работа с логическими функциями основывается на законах алгебры логики, основы которых изложены в прикрепленном файле. Так же там есть задания для самоконтроля и контрольные вопросы по теме.







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.