Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач из физики, экономики, демографии, биологии и т. д.

Пример 12.1.

Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени:

Пусть – число жителей региона в момент времени . Прирост населения составил за время :

(12.1)

Или:

, где (12.2)

(12.3)

(12.4)

Уравнение (12.4) является дифференциальным уравнением первого порядка. Из (12.4) следует:

(12.5)

Проинтегрируем левую и правую части последнего уравнения, получим:

(11.6)

Отсюда:

(12.7)

Таким образом, закон изменения численности населения с течением времени имеет следующий вид:

(12.8)

Здесь – постоянная, определяемая начальными условиями.