Перевод чисел из десятичной системы

В шестнадцатеричную и наоборот.

Методика перевода чисел из одной системы исчисления в другую нам хорошо известна. Для перевода целых десятичных чисел в шестнадцатеричную систему нам необходимо делить заданное число на 16 до получения частного равного нулю, выписывая полученные остатки.

Пример:

Переведем число 17350 в шестнадцатеричную систему.

17350| 16

16 1084| 16

135 96 67| 16

128 124 64 4| 16

70 112 3 0 0

64 12 4

Таким образом получен результат

17350₁₀ = 43С6₁₆

Умножение. Убедитесь в справедливости следующих равенств

43976₁₀ = ABC8₁₆

30938₁₀ = 78DA₁₆

Для перевода дробных чисел, будем использовать известный нам алгоритм. Именно, будем умножать дробное число на 16, выделяя в полученном произведении целую часть.

Рассмотрим пример, переведем десятичное число 0, 546875₁₀ в шестнадцатеричную систему отсчета.

0, 546875

* 16

546875

8. 750000

* 16

75

12. 00

Окончательно получаем

0, 546875₁₀ = 0, 8С₁₆

Переход от шестнадцатеричной системы в десятичную, как мы знаем, можно выполнить двумя способами.

Первый, очевидный, способ состоит в том, чтобы записать число через сумму значений его цифр.

Например:

34В6₁₆ = (3∙ 16³+4∙ 16²+11∙ 16+6)₁₀ =13494₁₀

Второй способ состоит в делении целого числа на А₁₀ = 10₁₀ в шестнадцатеричной системе.

Пример:

34B6| A

32 545| A

2B 50 86| A

28 45 82 D| A

36 3C 4 A 1| A

32 9 3 0 0

4 1

Результат вычислений следующий 13494₁₀, разумеется он совпал с вычислениями по первому способу.

Аналогично тому, как был осуществлен переход из двоичной системы в четверичную и из двоичной в восьмеричную, рассмотрим переход из двоичной системы в шестнадцатеричную. Поскольку имеет место равенство 2⁴=16, то запись цифр шестнадцатеричной системы в двоичную систему займет четыре разряда. Число в двоичной системе, содержащее четыре разряда назовем тетрадой. давайте в следующей таблице посмотрим на представление десятичных чисел, шестнадцатеричных и чисел в двоичной системе.

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную осуществляется по обычной схеме. Необходимо число в двоичной системе делить на основание системы, в которую мы переводим то есть на 10000₂ = 16₁₀. Деление на это число означает перенос точки в числе, как разделителя целой и дробной части, влево на четыре двоичных цифры.

Мы в состоянии сформулировать правила перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную. Эти правила следующие:

1. Целую часть справа налево необходимо разбить на тетрады, возможно дополнив неполную последнюю тетраду нулями слева.

2. Дробную часть необходимо слева направо разбить на тетрады, возможно дополнив последнюю неполную тетраду нулями справа.

3. Заменяем тетрады значениями шестнадцатеричных цифр.

Рассмотрим пример:

110100111011.1100111101₂

Тетрады целой части

1101-D 0011-3 1011-B

Тетрады дробной части

0.1100 -С 1111-F 0100- 4

Итак. выписанное двоичное число в шестнадцатеричной системе принимает вид

D3B.CF4

Перевод числа из шестнадцатеричной системы в двоичную выполняется путем замены каждой шестнадцатеричной цифры значением соответствующей ей тетрады.

Пример:

734А₁₆ = 0111 0011 0100 1010₂

7 3 4 А

Используя тетрады можно осуществлять эффективный переход из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот, используя шестнадцатеричную систему как промежуточную.

Покажем это на примере:

Перевести число 27384₁₀ в двоичную систему.

Сначала переведем это число в шестнадцатеричную систему.

27384| 16

16 1711| 16

113 16 106| 16

112 111 96 6| 16

18 96 10 0 0

16 15 6

16

Окончательно

27384₁₀ = 6AE8₁₆

Теперь нетрудно выписать число в двоичной системе

27384₁₀ = 0110 1010 1110 1000₂

6 А Е 8

Наш алгоритм быстрого перевода чисел из двоичной системы в десятичную и обратно выглядит схематично так

2 16 10

10 16 2

Для быстрого перевода полезно иметь таблицу степеней числа 16.