Позиционные системы счисления.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АВТОНОМНОЙ

РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

РВУЗ «КРЫМСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИИ МЕНЕДЖМЕНТА

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

“ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ”

для студентов бакалавров специальности 6.040302 «Информатика»

Ялта, 2011

Системы счисления

Человек издавна стремился записать численное значение того или иного результата своего труда. Развитие этого умения происходило параллельно развитию цивилизации. Древние системы записи чисел - египетская, вавилонская, греческая и китайская сменились римской и десятичной.

С развитием компьютеров широкое распространение получили двоичная система, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Счислением мы будем называть совокупность приемов записи и наименования чисел. Цифрами называют условные знаки, применяемые для записи чисел. В ряде систем счисления числа записываются как последовательность цифр. Если местоположение цифры определяет ее значение, то говорят о позиционной системе счисления. Так число 236 позиционной десятичной системе счисления означает две сотни, три десятка и шесть единиц. Известным примером непозиционной системы отсчета является римская система счисления, например, в числе XXXIV знак Х всегда обозначает десять единиц.

Позиционные системы счисления.

Как мы уже отмечали, в позиционной системе счисления число записывается в виде последовательности цифр. При записи цифр существенно какое число p> 1 выбрано в качестве основания системы счисления. В качестве цифр, с помощью которых будут записываться числа выбирают знаки 0, 1, 2, …, p-1. Число в описываемой системе записывается в виде

A=a_na_n-1…a₁a₀, (1)

Где a_i, i=0, 1, …, n-1, n, может принимать значения 0, 1, 2, …, p-1. Принимать, записанное число (1) необходимо следующим образом

A=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀p⁰. (2)

Перед числом может быть постановлен знак + и тогда число считается положительным. Отрицательные числа обозначаются знаком -. Для записи дробных чисел в позиционных системах счисления применяют следующий прием. После цифры a₀ обозначают дробную часть числа. Общий вид такого числа следующий

B=a_na_n-1…a₁a₀a_-1a_-2…a_-(m-1)a_-m (3)

Такая запись числа означает

B=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀p⁰+a_-1p^-1+a_-2p^-2+…+a_-(m-1)p^-(m-1)+a_-mp^-m (4)

Придавая p различные значения, мы будем получать различные позиционные системы счисления. Так, для p=2, 3, 4 будем получать соответственно двоичную, троичную, четверичную системы счисления.

Покажем, как с помощью приведенных выше формул записать число в пятеричной системе счисления

2341·32=2·5³+3·5²+4·5+1+3·5^-1+2·5^-2 (4)

Для того, чтобы указать, в какой системе записано число справа внизу после записи числа ставят цифру равную основанию, используемой системы. Так, например, 138₁₀ означает, что число 138 записано в десятичной системе счисления.