Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов и погрешностей.

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. В этом случае предсказать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от до , где и - соответственно, нижняя и верхняя границы разброса. В этом случае для количественной оценки результата измерений и его случайной погрешности применяются методы теории вероятности и математической статистики.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины х и получена группа наблюдений х₁, х₂, х₃, …, х_n. Каждое из значений х содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания и найдем размах ряда L=x_max-x_min. Разделив размах ряда на k равных интервалов , подсчитаем количество наблюдений n_k, попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат – относительную частоту попаданий . Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой , получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.

При бесконечном увеличении числа наблюдений и бесконечном уменьшении ширины интервалов , ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую (рис.1), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее, - дифференциальным законом распределения.

Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде =1.

Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины , то вероятность Р ее попадания в интервал от х₁ до х₂:

Рис.1. Кривая плотности

распределения вероятностей