Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā ₁ , ā ₂, …, ā _n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ _i - действительные числа.

Векторы ā ₁,.., ā _n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ _i равны нулю, то есть

λ _i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ _i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например, . тогда, , где .

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n- мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.