Свойства определителей

1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы

det A = det A^Т.

Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны, все дальнейшие свойства справедливы как для строк, так и для столбцов определителя.

2. Перестановка двух соседних строк (столбцов) изменит знак определителя на противоположный.

.

3. Формула разложения определителя по любой строке (столбцу).

Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

4. Если две строки (столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю.

5. Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и то же число k, то определитель умножится на это число. Другими словами, общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

.

7. Если элементы некоторой строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, соответствующие строки которых состоят из этих слагаемых:

.

8. Если элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

9. Алгебраическая сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

если i s

10. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.

Имеет место формула Лапласа, обобщающая формулу разложения определителя по строке (свойство 3).

Рассмотрим определитель n-го порядка Δ, вычеркнем в нем произвольно k-строк i₁ i₂ … i_k и k-столбцов j₁ … j_k (k< n); из элементов, стоящих в этих строках и столбцах; составим определитель k-то порядка, назовем его минором k-го порядка и обозначим .

Из оставшихся (n -k) элементов составим еще один определитель, назовем его дополнительным минором (n-k)-го порядка и обозначим

Теорема Лапласа:

Для любого k< n и любых фиксированных i₁,..., i_k j ₁,..., j_k, таких, что 1< i₁,..., i_k j ₁,..., j_k < п, справедлива следующая формула: