Пределы.

ЛЕКЦИИ 10.

Определение. Число A называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N, что для всех членов последовательности, начиная с номера N, будет выполнено неравенство .

Предел последовательности обозначается символом .

Для более краткой записи в дальнейшем мы будем использовать символы:

(любой)- квантор общности, который обозначает, что любой элемент некоторого множества обладает определенным свойством.

(существует)- квантор существования, который обозначает, что существует элемент некоторого множества, обладающий определенным свойством.

Используя кванторы существования и общности определение предела последовательности можно записать так: Для , что при .

Пример. Рассмотрим числовую последовательность с общим членом . Покажем, что . Возьмем произвольное число и зафиксируем его. Тогда полагаем , где - целая часть числа . Тогда при будет выполнено , или , что требовалось доказать.

Определение. Число A называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдется положительное число (зависящее от ), что при любом , удовлетворяющем неравенству , будет выполнено неравенство .

Предел функции в точке обозначается символом .

Используя кванторы определение предела функции в точке можно записать так: Для , что при , удовлетворяющему неравенству .

Преобразуем неравенство . Таким образом, принадлежит симметричному интервалу длиной с центром в точке . Такой интервал называется - окрестностью точки и обозначается . Аналогично неравенство . Полученный интервал называется - окрестностью точки A и обозначается .

Поэтому определение предела функции можно сформулировать так:

, что при .

Утверждение. Если функция постоянна в некоторой окрестности точки , то ее предел равен , то есть .

Доказательство. Возьмем такое , при котором при .Тогда для . 

Определение. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется положительное число (зависящее от ), что при любом , удовлетворяющем неравенству , будет выполнено неравенство .

Или для , что при , удовлетворяющему неравенству .

Предел функции при обозначается символом .

Пример 1. Докажем, что .

Для необходимо найти такое , что при будет выполнено неравенство . Преобразуем последнее неравенство: . Поэтому возьмем . Тогда , что треб. док.

Пример 2. Докажем, что . Преобразуем функцию: . Для необходимо найти такое , что при будет выполнено неравенство