Лінійна модель функціонування первинного елементу ви­робничої системи

Модель функціонування первинного елементу дає можливість враховувати основні особливості, які зустрічаються в процесі функ­ціонування виробництва, проводити різносторонній аналіз, отриму­вати теоретично та практично важливі результати. Елемент називають первинним за умови його подальшої неподільності щодо вирішува-

ної задачі. Модель будується у формі лінійної функції і враховує ни­жчевказані споживані ресурси:

Хі - матеріали (вартість витраченої кількості);

Х₂ - основні фонди (устаткування та ін. або вартість основних фондів, амортизаційних відрахувань);

Хі - трудові ресурси (розміри заробітної плати та нарахування).

При побудові моделі в лінійному вигляді щодо кожного зі спо­живаних ресурсів виробнича функція ділиться на три самостійні за­лежності:

Для здійснення виробництва завжди необхідна наявність всіх трьох ресурсів. Цю умову виражають за допомогою логічної функції " І": ¥ = X/ и Х₂ и Х₃ і показують на кібернетичних схемах (рис. 2.7).

Для вимірювання У, X/ - можна застосовувати будь-які викорис­товувані на практиці одиниці - натуральні, умовно-натуральні або ж зводити до єдиних - вартісних. Розмір споживання ресурсів і випус­ку продукції можна виражати як у формі об'ємів, так і у формі інтен­сивності (об'єму, що ділиться на якийсь час).

Коефіцієнти а, Ь, с у функціях показують середній розмір витрат відповідного ресурсу, що доводиться в умовах, що існують на виробни­цтві, на одиницю продукції, що випускається. Тому вони є нормами ма­теріаломісткості (а), фондомісткості (Ь) і трудомісткості (с). Зворотні ним величини, що відображають випуск продукції, що доводиться на одиницю ресурсу, що витрачається, є коефіцієнтами матеріаловіддачі (1 /а), фондовіддачі (1 /Ь)\ продуктивності праці (1 /с).

Використовуючи вказані залежності, можна вирішувати пряму задачу - розраховувати витрати кожного з ресурсів X/, необхідні на виробництво заданого випуску продукції У. Можна також вирішува­ти зворотну задачу: визначати можливий випуск продукції У при за­даних обмежених ресурсах Х\ = Х'і, Х₂ - Х'₂₎ Х₃ - Х'₃. У цьому випад­ку розрахунки зводяться до визначення гранично можливих (максимальних) значень У по кожному з ресурсів окремо і до вибору найменшого з них:

Незначна трудомісткість розрахунків і простота аналізу при мо­делюванні виробництва за допомогою лінійних функцій дозволяє детально описувати структуру виробництва і детально вивчати взає­мозалежності, що існують у нім. Так, можна враховувати той факт, що аналізовані величини не прості змінні, а вектори. Якщо врахову­вати, що на виробництві випускається к видів продукції і на кожен з них використовується / видів матеріалів, т видів устаткування і за­стосовується праця працівників п різних спеціальностей і кваліфіка­цій, в моделі використовуватимуться не три самостійні коефіцієнти а, в, с, а три матриці коефіцієнтів. Наприклад, матриця норм матеріа­ломісткості виглядає так:

де а-р - норма витрати у-го матеріалу на випуск одиниці і-ї проду­кції.

Аналогічно виходять матриці інших коефіцієнтів - фондомістко­сті \Ь\ і трудомісткості |с|. Розрахувавши для кожного елементу а_г,

матриці |а| величину, зворотну йому, а'_у, = 1/#_у,., визначимо нову матрицю а'\, яка буде матрицею коефіцієнтів матеріаловіддачі |і/а|. Таким же чином отримаємо дві інші матриці: коефіцієнтів фон­довіддачі ||& ' | і коефіцієнтів продуктивності праці ||с'|.

Всі відомості, необхідні для розрахунку розглянутих коефіцієнтів, як прямих (матеріаломісткості, фондомісткості та трудомісткості), так і зворотних їм (атеріаловіддачі, фондовіддачі і продуктивності праці), є в офіційній статистичній звітності, тому матриці всіх коефіцієнтів лег­ко розрахувати за фактичними даними. їх можна визначати в натура­льному або умовно-натуральному виразі (так звані технологічні мат­риці) й у вартісних одиницях (вартісні або економічні матриці).

Рішення прямої задачі не викликає труднощів — витрати ресурсів визначають множенням матриці продукції, що випускається, на мат­рицю норм витрати відповідних ресурсів.

Наприклад, виробнича система, яка описується за допомогою первинного елементу, випускає три вироби уі, у2, уз, які можна вира­зити за допомогою матриці-рядка:

Для виробництва необхідне використання чотирьох видів ма­теріальних ресурсів, норми витрати яких виразимо за допомогою матриці, яка має чотири стовпці (у кожному стовпці норми витра­ти однакового ресурсу для кожного з виробів) і три рядки (у кож­ному рядку норми витрати всіх необхідних ресурсів для одного виробу):

де аи - норма витрати першого ресурсу для виробництва першо­го виробу;

аі2 — норма витрати другого ресурсу для виробництва першого виробу і т. д.;

а₃4 - норма витрати четвертого ресурсу для виробництва третьо­го виробу. Використовуючи правила множення матриць, отримаємо:

Елементи отриманої матриці є сумарними кількостями кожного з ресурсів, необхідного для виробництва чотирьох виробів.

Зворотне завдання носить оптимізаційний характер і при його рішенні використовується метод лінійного програмування.

Розглянемо приклад. Припустимо, що в трьох цехах виготовля­ється два види виробів. Відоме завантаження кожного цеху (оціню­ється в даному випадку у відсотках) при виготовленні кожного з ви­робів і виручка (або об'єм у гривнях) від реалізації виробів. Потрібно визначити, скільки виробів кожного виду слід проводити при можли­во повному завантаженні цехів, щоб отримати за даний плановий період максимальну виручку від продажів (Сі).

Ситуацію відображаємо в таблиці 3, яка формалізує завдання, тоб­то цільову функцію (в даному випадку визначальну максимізацію ви­ручки від продажів продукції).

Таблиця 2.3 Представлення завдання

Цільова функція визначає максимальну виручку від продажів:

де X}, Х₂ - кількість 1 -го і 2-го виробів.

Графічне розв'язання задачі приведене на рис 2.8. Обмеження визначають область допустимих рішень, а нахил прямої, що відо­бражає цільову функцію, визначає точку останнього її перетину з областю допустимих рішень, яка і є якнайкращим рішенням задачі (оптимумом). У даному випадку X, = 9; Х₂= 13.

У разі великого числа різнорідних обмежень графічна інтерпре­тація завдання утруднена, тому використовуються спеціальні методи (симплексметод та інші), пакети прикладних програм, що їх реалізо­вують, але суть рішення задачі зберігається.