в ряд Маклорена

1. Рассмотрим показательную функцию . При всех имеем: . Ряд Маклорена имеет вид:

Для каждого натурального при всех . По достаточному условию разложимости, выполненному для интервала и для , функция разлагается в ряд Маклорена в интервале , а значит, и на .

П оказательная функция раскладывается на в степенной ряд вида:

.

2. Рассмотрим функцию . Последовательно дифференцируя, получаем:

…

и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены: . Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только нечетные степени и имеет вид:

.

3. Рассмотрим функцию . Последовательно дифференцируя, получаем:

…

и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены: . Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только четные степени и имеет вид:

.

4. Рассмотрим функцию с областью определения . Ее производная . Функция является при суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем :

Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где :

.

Разложение справедливо при . Можно показать, что оно сохраняется и при .

5. Рассмотрим функцию с областью допустимых значений . Ее производная . Функция является при суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем :

Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где :

. (37)

При в правой части равенства (37) имеем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. Можно показать, что в этих точках сохраняется равенство (37). При получаем:

.

6. Биномиальный ряд. Пусть — фиксированное действительное число (не обязательно целое или рациональное). Рассмотрим функцию и составим формально ее ряд Маклорена. Последовательно дифференцируя, находим:

…

Ряд Маклорена имеет вид:

(*)

и носит название биномиального ряда. Можно показать (см., например, [2, 3]), что разложение функции в биномиальный ряд имеет место при :

(38)

При целом все коэффициенты, начиная с коэффициента при , содержат множитель и потому равны нулю. Получается разложение функции в конечную сумму слагаемых по степеням , которое носит название бинома Ньютона:

;

числа

носят название биномиальных коэффициентов.

Частными случаями бинома являются известные по школьному курсу формулы:

; .

7. Рассмотрим функцию . По теореме об интеграле с переменным верхним пределом при :

.

Введем обозначение и разложим функцию в биномиальный ряд (при ):

Разложение имеет место при

.

Возвращаясь к переменной , получаем:

.

Интегрируя это равенство по направленному отрезку , получаем разложение арксинуса в интервале сходимости :

.

Можно доказать, что это равенство сохраняется и при . В частности, при получаем:

,

что дает возможность вычисления приближенных значений числа как частичных сумм.