Определение интервала сходимости

Пусть радиус сходимости степенного ряда (21). Поскольку при ряд сходится абсолютно, рассмотрим ряд, составленный из модулей:

, (24)

и применим к нему признак Даламбера. Пусть существует предел .

1. Пусть сначала — конечное число; тогда при :

.

По признаку Даламбера положительный ряд (24) сходится, если , и расходится, если . Поэтому для радиуса сходимости степенного ряда (21) справедлива формула:

. (25)

2. Если , то неравенство выполняется при всех , так что в этом случае .

3. Если , то ряд расходится при всех , и .

Пример. Найдем радиус и интервал сходимости степенного ряда . Здесь . Находим предел:

.

Поэтому радиус сходимости ; интервал сходимости . Исследуем теперь сходимость в граничных точках.

При после преобразований получаем знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При после преобразований получаем положительный ряд , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом:

(так как при справедливо неравенство ).

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .