Точечная аппроксимация.

Аппроксимация функций.

Аппроксимация - (от лат. approximo - приближаюсь) - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например приближение функций.

Понятие о приближении функций.

Постановка задачи.

Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что любому значе­нию х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т.е. невозможно записать эту связь в виде зависимости y = f(x), а некото­рых случаях даже при известной зависимости y = f(x) она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т. п.), что ее использование в практических расчетах затрудни­тельно.

Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у не­известен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы {x_i, y_i}. Это означает, что дискретному множест­ву значений аргумента {х_i} поставлено в соответствие множество значений функции .{y_i} (i = 0, 1,..., n). Эти значения — либо результаты расчетов, либо эксперимен­тальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от уз­лов x_i, однако получить эти значения практически можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вы­числения искомого параметра у при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра х, посколь­ку точная связь у = f(x) неизвестна.

Этой цели и служит задача о приближении (аппро­ксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией j(x), так, чтобы отклонение (в некотором смысле) j(x) от f(x) в заданной области было наимень­шим. Функция j(x) при этом называется аппроксими­рующей.

Точечная аппроксимация.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {x_i}, то аппроксимация называется то­чечной. К ней относятся интерполирование, среднеквад­ратичное приближение и др.

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х², …, хⁿ, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos(a_ix), sin(a_ix). Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e^-az. Эти функции часто встречаются в реальных ситуациях, к ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Используются и другие критерии.

Итак, выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

1. Какие узлы мы будем использовать?

2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

3. Какой критерий согласия мы применим?

4. Какую точность мы хотим?

Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.