решению задачи Коши в среде MathCad

Целью работы является укрепление знания студентов по численным методам решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на основе проведения экспериментальной исследовательской работы.

Лабораторная работа состоит из двух заданий. В первом задании, выполняемом дома, студент должен численно решить задачу Коши одним из предлагаемых ему методов с заданным шагом и оценить погрешность по методу Рунге. Второе задание выполняется в компьютерном классе и состоит оно в численном решении задачи Коши с заданной точностью. Разберем пример. Пусть требуется численно решить задачу Коши:

на отрезке с шагом методом Эйлера - Коши.

Решение. По методу Эйлера – Коши, имеем

где . Следовательно, получаем

Для оценки погрешности численно решаем задачу Коши с шагом :

Таким образом, решение полученное с шагом , найдено с точностью

.

Второе задание – это численное решение задачи Коши с заданной точностью . Соответствующий этому заданию документ MathCad представлен в листингах 2.1 и 2.2. Представлен так же график решения.

Листинг 2.1. Метод Эйлера – Коши с автоматическим выбором шага

Листинг 2.2. Продолжение лабораторной работы

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – Наука, 1966;

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука 1978;

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

ЗАДАЧИ

1. Вычисление интеграла одним из пяти методов: метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников, метод средних прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона с оценкой погрешности по методу Рунге.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20.

2. Решить задачу Коши на отрезке . Для всех вариантов .

1. .

2. .

3. .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………………3

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ………………………………4

1.1. Многочлен Лагранжа………………………………………………...4

1.2. Использование интерполяционных многочленов в методах

прямоугольников, трапеций, парабол………………………………..4

1.3. Метод Рунге практической оценки погрешности………………….9

1.4. Выполнение лабораторной работы по численному

интегрированию в среде MathCad………………………………..….10

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ…………..12

2.1. Метод Эйлера………………………………………………………..12

2.2. Различные модификации метода Эйлера………………………….13

2.3. Оценка погрешности по правилу Рунге……………………………14

2.4. Выполнение лабораторной работы по численному

решению задачи Коши в среде MathCad……………………………..14

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………..17

ЗАДАЧИ………………………………………………………………………….18