Различные модификации метода Эйлера

Для получения более точной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части.

Воспользуемся квадратурной формулой трапеции, получим

,

или иначе,

.

Заменим в правой части полученной формулы на некоторую величину . Тогда правая часть изменится на величину

( находится между и ). Таким образом, имеет место соотношение

.

Условию удовлетворяет результат вычислений по формуле Эйлера . Эти соотношения определяют пару расчетных формул:

(2.4)

Рассмотренный метод носит название метода Эйлера-Коши.

Построим другую пару формул с погрешностью на шаге того же порядка. Интеграл в правой части (2.3) заменим по формуле средних прямоугольников:

,

или

.

Если , то, как и в предыдущем случае, имеем

.

В качестве можно взять результат вычислений по формуле Эйлера с шагом : . Этим соотношениям соответствуют пара расчетных формул, определяющих еще одну модификацию метода Эйлера:

(2.5)