Короткі теоретичні відомості. Нехай маємо криволінійну трапецію Р(f), породжену графіком функції f, визначеної, невід’ємної і неперервної на відрізку [a;в]

Нехай маємо криволінійну трапецію Р(f), породжену графіком функції f, визначеної, невід’ємної і неперервної на відрізку [a; в]. Цю криволінійну трапецію як тверде тіло обертатимемо навколо осі Ох. Просторове тіло, яке опише при цьому криволінійна трапеція, називається тілом обертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції, обмеженої неперервною кривою y = f(x) і прямими х=а, х=в, y=0, обчислюється за формулою

(1)

Якщо навколо осі Ох обертається фігура, обмежена кривими y=f₁(x) і y=f₂(x), f₂(x) ≥ f₁(x) ≥ 0 і прямими х=а і х=b, то об’єм утвореного тіла обертання

(2)

Приклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривими y=x² і y= .

Використаємо формулу (2), де .

Маємо:

.

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Що таке тіло обертання?

2. Записати формулу для обчислення об’єму тіла, обмеженого кривою y=f(x) і прямими x=a, x=b, y=0.

3. Як обчислюється об’єм тіла, обмеженого кривими y=f₁(x) і y=f₂(x), f₂(x)≥ f₁(x)≥ 0 і прямими x=а, x=в?

4. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Ох фігури, обмеженої лініями y=x³, y=0, x=0, x=2.