Короткі теоретичні відомості. Якщо функція неперервна на відрізку [a;b], а функція неперервна разом зі своєю похідною на відрізку

Якщо функція неперервна на відрізку [a; b], а функція неперервна разом зі своєю похідною на відрізку , причому для всіх то

(1)

Формула (1) називається формулою заміни змінної у визначеному інтегралі, або формулою інтегрування підстановкою.

Застосування формули (1) розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1.

Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Відповідь:

Приклад 2.

Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Відповідь: І = 1

Приклад 3.

Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Відповідь:

Якщо функції і неперервні разом зі своїми похідними та на відрізку [ a; b], то

(2)

Формула (2) називається формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Застосування формули (2) розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1.

Обчислити інтеграл

Відповідь: I = 1.

Приклад 2.

Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Відповідь:

Приклад 3.

Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

		=

Відповідь:

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Яку формулу використовують у визначеному інтегралі при заміні змінної?

2. Яку формулу використовують при інтегруванні частинами у визначеному інтегралі?

3. Обчислити інтеграли:

а)

б)

в)

г)