А) ; б) ; в) ; г) .

Даны функции y=f(x) и значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) определить характер разрыва; 3) сделать рисунок.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования.

111. а) б) в) г) д)

112. а) б) в) г) д)

113. а) б) в) г) д)

114. а) б) в) г) д)

115. а) б) в) г) д)

116. а) б) в) г) д)

117. а) б) в) г) д)

118. а) б) в) г) д)

119. а) б) в) г) д)

120. а) б) в) г) д)

Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точкиграфика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус R и высота H), если на его изготовление имеется S=84, 82дм² материала
(S ≈ 27π)?

132. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей а = 3 м. При какой глубине объем воронки будет наибольшим?

133. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R?

134. В эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям.

135. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус Rи высота H), если на его изготовление имеется S = 18, 84 м² материала (S ≈ 6π)?

136. В прямоугольной системе координат через точку М (2; 3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

137. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на егo изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?

138. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V= 25 м² ( V≈ 8π). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота H), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?

139. Из круглого бревна радиуса R = требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием bи высотой h. Прочность балки пропорциональна bh². При каких значениях bи hпрочность балки будет наибольшей?

140. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объема V=50м³ ( V≈ 16π). Каковы должны быть размеры бака (радиус Rи высота H), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Найти интегралы:

141. а) ; б) ; в) .

142. а) ; б) ; в) .

143. а) ; б) ; в) .

144. а) ; б) ; в) .

145. а) ; б) ; в) .

146. а) ; б) ; в) .

147. а) ; б) ; в) .

148. а) ; б) ; в) .

149. а) ; б) ; в) .

150. а) ; б) ; в) .

Вычислить определенные интегралы:

151. а) ; б) .

152. а) ; б) .

153. а) ; б) .

154. а) ; б) .

155. а) ; б) .

156. а) ; б) .

157. а) ; б) .

158. а) ; б) .

159. а) ; б) .

160. а) ; б) .

161. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и

162. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

163. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

164. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой прямой и осью Оx.

165. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой y=6/x, осью Оу и прямыми у = 1 и у = 6.

166. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса x=acost, y=bsint.

167. Найти длину дуги кривой от до

168. Найти длину дуги кривой от до

169. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost).

170. Найти длину кардиоиды ρ =2a(1-cosφ).

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

Дана функция . Найти: 1) полный дифференциал dz;

2) частные производные второго порядка и ;

3) смешанные частные производные и .

181. .

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190..

191. Дана функция . Показать, что

192. Дана функция . Показать, что .

193. Дана функция . Показать, что .

194. Дана функция . Показать, что .

195. Дана функция . Показать, что .

196. Дана функция . Показать, что .

197. Дана функция . Показать, что .

198. Дана функция . Показать, что .

199. Дана функция . Показать, что .

200. Дана функция . Показать, что .

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, у) в заданной замкнутой области.

201. в квадрате .

202. в треугольнике, ограниченном осями координат Оx и Oy и прямой .

203. в квадрате .

204. в квадрате .

205. в треугольнике, ограниченном осями координат Оx и Oy и прямой

206. в области, ограниченной параболой , осью Oy и прямой .

207. в прямоугольнике .

208. в области, ограниченной параболой и осью Ox.

209. в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

210. в прямоугольнике .

Данную функцию z = f(x, у) исследовать на экстремум.

211. .

212. .

213.

214. .

215.

216.

217.

218.

219.

220.

Требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

221.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

231.

232.

233.

234.

235.

236.

237.

238.

239.

240.

Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

241. .

242. .

243. .

244. .

245. .

246. .

247. .

248. .

249. .

250. .

Исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

251. .

252. .

253. .

254. .

255. .

256. .

257. .

258. .

259. .

260. .

Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения a, b и k даны.

261. a = 2, b = 3, k = 4.

262. a = 6, b = 5, k = 3.

263. a = 3, b = 4, k = 5.

264. a = 5, b = 2, k = 4.

265. a = 4, b = 3, k = 3.

266. a = 2, b = 3, k = 5.

267. a = 5, b = 6, k = 2.

268. a = 3, b = 5, k = 6.

269. a = 3, b = 7, k = 3.

270. a = 2, b = 7, k = 3.

Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

271. .

272. .

273. .

274. .

275. .

276. .

277. .

278. .

279. .

280. .

При указанных начальных условиях найти три первых (отличных от нуля) члена разложения в степенной ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения:

281. .

282. .

283. .

284. .

285. .

286. .

287. .

288. .

289. .

290. .

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

291..

292..

293..

294.

295..

296..

297..

298..

299..

300..

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

301.,.

302.,.

303.,.

304.,.

305.,.

306.,.

307.,.

308.,.

309.,.

310.,.