Задачи для контрольных работ

Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

1. A(-7; -2), B(5; -11), C(9; 11).

2. A(-4; 8), B(8; -1), C(12; 21).

3. A(-11; 0), B(1; -9), C(5; 13).

4. A(-9; 10), B(3; 1), C(7; 23).

5. A(1; 3), B(13; -6), C(17; 16).

6. A(-8; 7), B(4; -2), C(8; 20).

7. A(2; 1), B(14; -8), C(18; 14).

8. A(-3; 11), B(9; 2), C(13; 24).

9. A(3; 6), B(15; -3), C(19; 19).

10. A(0; 5), B(12; -4), C(16; 18).

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки А (x₁, у₁) и данной прямой y=b. Полученное уравнение привестик простейшему виду и затем построить кривую.

11. A(2, 5), y=1.

12. A(3, -4), y=2.

13. A(-4, 3), y=-1.

14. A(-2, -3), y=-1.

15. A(1, -1), y=3.

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (х₁; у₁) и до данной прямой x=а равночислу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

16. A(6, 0), x=1, 5, =2.

17. A(3, 0), x= , =1, 5.

18. A(10, 0), x=2, 5, =2.

19. A(2, 0), x=4, 5, =2/3.

20. A(3, 0), x=12, =0, 5.

Даны координаты точек А(х₁; у₁), b(х₂, у₂)и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность.

21. A(4; -2), B(2; ), R= .

22. A(-8; 4), B(; -2), R= .

23. A(; -2), B(-3; ), R=3.

24. A(-6; ), B(; 6), R=8.

25. A(; -4), B(6; ), R= .

Даны координаты точек А (х₁; у₁) и В (х₂; y₂). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.

26. A(-3; 4), B(-5; ).

27. A(4; -6), B(6; ).

28. A(-4; -3), B(8; 9).

29. A(8; 12), B(-6; ).

30. A(8; 6), B(10; - ).

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Дана невырожденная матрица А. Требуется: 1) найти обратную матрицу ; 2) пользуясь правилом умножения матриц, показать, что , где — единичная матрица.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; найти объем пирамиды АВСD.

51. A(2; -3; 1), B(6; 1; -1), C(4; 8; -9), D(2; -1; 2).

52. A(5; -1; -4), B(9; 3; -6), C(7; 10; -14), D(5; 1; -3).

53. A(1; -4; 0), B(5; 0; -2), C(3; 7; -10), D(1; -2; 1).

54. A(-3; -6; 2), B(1; -2; 0), C(-1; 5; -8), D(-3; -4; 3).

55. A(-1; 1; -5), B(3; 5; -7), C(1; 12; -15), D(-1; 3; -4).

56. A(-4; 2; -1), B(0; 6; -3), C(-2; 13; -11), D(-4; 4; 0).

57. A(0; 4; 3), B(4; 8; 1), C(2; 15; -7), D(0; 6; 4).

58. A(-2; 0; -2), B(2; 4; -4), C(0; 11; -12), D(-2; 2; -1).

59. A(3; 3; -3), B(7; 7; -5), C(5; 14; -13), D(3; 5; -2).

60. A(3; 1; 1), B(7; 5; -1), C(5; 12; -9), D(3; 3; 2).

Данную систему уравнений записать в матричной форме и затем решить с помощью обратной матрицы.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Данную систему уравнений решить методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

Вычислить указанные пределы: