Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Задача 32. Найти общее решение уравнения .

Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при и есть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных . Применяем подстановку , где – некоторая функция аргумента .

Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид

.

Сократив на , будем иметь:

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно и . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

; ;

; .

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или – общее решение данного уравнения.

Задача 33. Найти общее решение уравнения .

Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где и - некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид

,

или

. (1)

Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид

. (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:

; ; ;

; , .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; . Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.