Тема 9. Определенный интеграл

Задача 22. Вычислить интеграл

Решение: Сделаем подстановку. Пусть

Тогда Определим пределы интегрирования для переменной z. При получаем , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через z и переходя к новым пределам, получим

Так как разность кубов то, сократив на знаменатель, получим

Задача 23. Вычислить интеграл или установить его расходимость.

Решение: Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при , т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция f(x) интеграла имеет бесконечный разрыв при х = с, где а< с< b, а во всех других точках отрезка [а, b]непрерывна, то по определению полагают:

(*)

Если оба предела в правой части (*)существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.

Следовательно, данный интеграл — сходящийся.

Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (а, b).