Тема 6 Производная и дифференциал

Задача 13. Найти производные следующих функций:

а) б) в)

г) ; д) ; е) .

Решение: При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных элементарных функций.

Правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Таблица производных основных элементарных функций:

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций

а) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, азатем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у и находим производную у':

откуда

г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов

д) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем: .

е) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

.

Задача 14. Найти производную второго порядка

а) б)

Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

откуда (1)

Снова дифференцируем по х обе части (1):

(2)

Заменив у' в (2) правой частью (1), получим

б) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сначала дифференциалы dy и dx, а затем берем их отношение:

Тогда

Производная второго порядка Следовательно, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':

Тогда

Задача 15. Найти приближенное значение функции

при , исходя из ее точного значения при х₁ = 6.

Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции Если приращение аргумента по абсолютной величине достаточно мало, то приращение приближенно равно дифференциалу, т.е. Так как а , то имеет место приближенное равенство:

Пусть , т.е. .

Тогда

(1)

Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при х=х₂, если известно значение функции и ее производной при х = х₁.

Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной у' при х = 6:

или

Применяя (1), получим

Задача 16. Найти приближенное значение величины tg 47°.

Решение: Применяем формулу (1) задачи 15.

Рассмотрим функцию . Дифференциал ее равен Так как то положим и Приращение или в радианном измерении Следовательно,

Задача 17. Дана парабола и радиус окружности R= 10, центр которой находится в начале координат.

Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения.

Решение: 1) Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: , где R – радиус окружности. Следовательно, есть уравнение данной окружности.

Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решаем совместно систему:

В результате находим, что парабола и окружность пересекаются в двух точках: А(–8; –6) и В(8; –6) (рис. 7).

2) Известно, что угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке лежащей на этой кривой, равен значению производной в точке касания, то есть

Для определения угловых коэффициентов касательных к параболе в точках А и В находим производную у':

Следовательно, и

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

(1)

Подставив в (1) координаты точки А и значение углового коэффициента получим уравнение касательной к данной параболе в точке А:

Подставив в (1) координаты точки В и получим уравнение касательной к данной параболе в точке В:

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к кривой у = f(x) в точке имеет вид

(2)

Подставив в (2) координаты точки А и k_A = 2, находим уравнение нормали в точке А: х+2у+20 = 0. Аналогично находим уравнение нормали в точке В: х – 2у – 20 = 0.

3) Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Под углом между двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке пересечения. Так как заданные кривые являются симметричными относительно оси ординат, то острые углы, образуемые данными кривыми в точках их пересечения, будут равны между собой. Поэтому достаточно найти угол между касательными к параболе и к окружности только в одной точке, например в точке А.

Определим угловой коэффициент касательной АЕ, проведенной к окружности в точке А(– 8; – 6):

Из аналитической геометрии известно, что угол между двумя прямыми определяется по формуле

(3)

Положив в (3) и получим:

Таким образом, острый угол , образуемый параболой и окружностью в точке пересечения А, составляет приближенно 63° 26'.