Образец выполнения лабораторной работы №9

(Обратное интерполирование)

Постановка задачи. Дана функция , определенная на отрезке , своими значениями , в узлах , где , . Найти значение аргумента , соответствующего известному значению , т.е. найти такое, что .

Исходные данные.

		1, 71	2, 42	3, 13	3, 84	4, 55	5, 26
	0, 778801	1, 906914977	3, 198030272	4, 479744	5, 645985339	6, 63762664	7, 42804

	0, 71
	2, 517282

Для этого тестового примера известно, что при .

Из расположения заданных точек на графике можно заключить, что искомая функция скорее всего монотонна на рассматриваемом отрезке, поэтому обратная задача имеет единственное решение.

Решим данную задачу, используя первую интерполяционную формулу Ньютона:

, где .

Для решения задачи необходимо найти , для этого получим уравнение относительно :

, где .

Решим полученное уравнение методом итерации по следующей схеме:

; где .

0, 778801	1, 128114194	0, 163001101	-0, 172402	0, 066329927	-0, 01938387	0, 004936
1, 906915	1, 291115295	-0, 009401087	-0, 106072	0, 046946052	-0, 01444804
3, 19803	1, 281714208	-0, 115473349	-0, 059126	0, 032498012
4, 479744	1, 166240859	-0, 174599558	-0, 026628
5, 645985	0, 991641301	-0, 201227756
6, 637627	0, 790413545
7, 42804

	1, 541050382	1, 54105038	0, 141322	0, 2780904843	1, 00000000
1, 54105	1, 469473685	0, 07157670	0, 152869	0, 0129163839	2, 09414577
1, 469474	1, 480282154	0, 01080847	0, 149057	0, 0019504441	2, 04332632
1, 480282	1, 478667833	0, 00161432	0, 149682	0, 0002913127	2, 05100033
1, 478668	1, 478909369	0, 00024154	0, 14959	0, 0000435865	2, 04985416
1, 478909	1, 478873239	0, 00003613	0, 149604	0, 0000065197	2, 05002565
1, 478873	1, 478878644	0, 00000540	0, 149602	0, 0000009753	2, 05000000
1, 478879	1, 478877835	0, 00000081	0, 149602	0, 0000001459	2, 05000384
1, 478878	1, 478877956	0, 00000012	0, 149602	0, 0000000218	2, 05000326

Где , при . На рассматриваемом отрезке имеем оценку .

Тогда получим . Полученное значение может быть изображено на графике. Откуда следует, что полученное решение обратной задачи вполне отвечает (соответствует) исходным данным.

Тогда в результате округлений получим следующий результат , который соответствует точному решению в пределах найденной погрешности.

Ответ: .