Образец выполнения лабораторной работы №8

(Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.)

Постановка задачи. Дана функция своими значениями , где , , , , . Найти интерполирующую функцию определенного класса , такую что , для .

Задача интерполяции заключается в нахождении значения функции при , для чего полагают, что .

Рассмотрим решение задачи интерполяции для функции заданной таблично, используя метод Ньютона для равноотстоящих узлов.

	2, 00000000	2, 14000000	2, 28000000	2, 42000000	2, 56000000	2, 70000000	2, 84000000
	7, 274400	7, 715100	7, 889900	7, 737300	7, 200500	6, 231200	4, 791600

Найти , при .

Так как находится в конце таблицы, то применяем для решения задачи приближения вторую интерполяционную формулу Ньютона

,

.

Тогда , ,

Составим конечные разности

7, 7373000	-0, 2355480	-0, 0657040	-0, 0610118	0, 0743632	-0, 0920959	0, 1105114
7, 5017520	-0, 3012520	-0, 1267158	0, 0133514	-0, 0177327	0, 0184155
7, 2005000	-0, 4279678	-0, 1133644	-0, 0043813	0, 0006828
6, 7725322	-0, 5413322	-0, 1177457	-0, 0036985
6, 2312000	-0, 6590779	-0, 1214442
5, 5721221	-0, 7805221
4, 7916000

-1, 7143	-0, 7143	0, 2857	1, 2857	2, 2857	3, 2857

Составим таблицу для вычисления слагаемых во второй интерполяционной формуле Ньютона:

	3, 3782	720, 0000	0, 004691923	-0, 0018000	-8, 44546E-06
	1, 028143036	120, 0000	0, 008567859	0, 0020000	1, 71357E-05
	0, 449812578	24, 0000	0, 018742191	0, 0105000	0, 000196793
	0, 349854227	6, 0000	0, 058309038	-0, 0378000	-0, 002204082
	1, 224489796	2, 0000	0, 612244898	-0, 4703000	-0, 287938776
	-1, 7143	1, 0000	-1, 714285714	-1, 4396000	2, 467885714
				4, 7916000	4, 7916
					6, 96954834

Графическая интерпретация исходных значений и результата дают следующую картину, где точкой показан полученный результат: . Из данного рисунка можно сказать, что найденное приближенное решение задачи интерполяции вполне отвечает исходным данным.

Оценка погрешности приближения .

Оценим погрешность приближения с помощью выражения , . Для этого оценим с помощью выражения . Тогда получим следующую погрешность .

Получим решение: , .

Определим число верных знаков. Так как 0, 00005, то при имеем .

После округления получим , , . Так как , то .

Округлим до верных знаков. Получим (используя правило четной цифры) , где , . Так как , то .

Округлим до верных знаков. Получим , где , . Так как , то . При этом .

Следовательно, в полученном результате все знаки верные.

Ответ: .